Question

任给一个自然数N，把N的各位数字按相反的顺序写出来，得到一个新的自然数N′，试证明：|N-N′|能被9整除．

Answer 1

分析：设出N及N′，推出N除以9所得的余数等于a₁+a₂+…+a_n除以9所得的余数，N′除以9所得的余数等
a_n+a_n-1+…+a₁除以9所得的余数，从而得出|N-N′|能被9整除．

解答：解：令N=

.

a 1a 2an

，则N′=

.

a na n-1a1

．
所以，N除以9所得的余数等于a₁+a₂+…+a_n除以9所得的余数，
而N′除以9所得的余数等于a_n+a_n-1+…+a₁除以9所得的余数．
显然，a₁+a₂+…+a_n=a_n+a_n-1+…+a₁．因此，N与N′除以9所得的余数相同，从而|N-N'|能被9整除．

点评：此题考查了带余除法，要注意本例用了一个结论：若a与b除以c所得的余数相同，则c|a-b这个结论是显然的，而且它的应用十分广泛．另外，本例的结论还可以推广．不一定非把N的各位数字按相反顺序重写，可以以任意的次序重写N的各位数宇得出N′，则|N-N'|仍能被9整除．