Question

15．如图，已知，在△ABC中，∠ABC=90°，BC为⊙O的直径，AC与⊙O交于点D，点E为AB的中点，PF⊥BC交BC于点G，交AC于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）如果CF=1，CP=2，sinA=$\frac{4}{5}$，求⊙O的直径BC；
（3）在（2）的条件下，求tan∠PDC的值及PD的长．

Answer 1

分析 （1）先连接OD，根据圆周角定理求出∠BDC=90°，根据直角三角形斜边上中线性质求出DE=BE，推出∠EDB=∠EBD，∠ODB=∠OBD，即可求出∠ODE=90°，根据切线的判定推出即可．
（2）可证∠A=∠DBC，所以要求BC需先求DC．结合已知条件，证明△PDC与△FPC相似可求CD，得解．
（3）连接PD，可证∠PBC=∠PDC，根据勾股定理求得PB，即可求得tan∠PDC=tan∠PBC=$\frac{PC}{PB}$的值；作CK⊥PD于K，根据tan∠PDC=$\frac{CK}{DK}$=$\frac{2}{\sqrt{21}}$和DC的值，根据勾股定理求得CK、DK的值，进而根据勾股定理求得PK的值，即可求得PD的值．

解答 （1）证明：连接OD，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC=90°，
∴∠ADB=90°，
∵E为AB的中点，
∴DE=BE=AE，
∴∠EDB=∠EBD，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∵∠ABC=90°，
∴∠EDO=∠EDB+∠ODB=∠EBD+∠OBD=∠ABC=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：∵PF⊥BC，
∴∠FPC=90°-∠BCP（直角三角形的两个锐角互余），
∵∠PDC=90°-∠PDB（直径所对的圆周角是直角），∠PDB=∠BCP（同弧所对的圆周角相等），
∴∠FPC=∠PDC，
又∵∠PCF是公共角，
∴△PCF∽△DCP．
∴$\frac{PC}{CD}$=$\frac{CF}{PC}$，
则PC²=CF•CD，
∵CF=1，CP=2，
∴CD=4，
可知sin∠DBC=sinA=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{DC}{BC}$=$\frac{4}{5}$，即$\frac{4}{BC}$=$\frac{4}{5}$，
∴直径BC=5．
（3）解：连接PD，作CK⊥PD于K，
∵BC是直径，
∴∠BPC=90°，
∵BC=5，PC=2，
∴PB=$\sqrt{B{C}^{2}-P{C}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{2}^{2}}$=$\sqrt{21}$，
∵∠PBC=∠PDC，
∴tan∠PDC=tan∠PBC=$\frac{PC}{PB}$=$\frac{2}{\sqrt{21}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{21}$，
∵tan∠PDC=$\frac{CK}{DK}$=$\frac{2}{\sqrt{21}}$，
∴设CK=2x，DK=$\sqrt{21}$x，
∵CD=4，
∴CK²+DK²=CD²，即（2x）²+（$\sqrt{21}$x）²=4²，
解得x=$\frac{4}{5}$，
∴CK=$\frac{8}{5}$，DK=$\frac{4\sqrt{21}}{5}$，
∵CP=2，
∴PK=$\sqrt{C{P}^{2}-C{K}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{8}{5}）^{2}}$=$\frac{6}{5}$，
∴PD=PK+DK=$\frac{6}{5}$+$\frac{4}{5}$$\sqrt{21}$=$\frac{6+4\sqrt{21}}{5}$．

点评 此题考查了切线的判定、相似三角形的判定和性质、三角函数等知识点，综合性较强，难度较大．