Question

已知二次函数y＝x²＋bx＋c的图像过点A(C，0)，，求证这个二次函数的图像关于直线x＝3对称．(其中中是一段被墨水污染而无法辨认的文字)(1)根据现有的信息，试求出二次函数的解析式；(2)你认为题中的二次函数具有哪些性质？(3)请将被污染部分补充完整．

Answer 1

答案：
解析：

解答：(1)∵抛物线的对称轴为x＝3，则－＝3，b＝－6． 　　把A(c，0)代入y＝x2＋bx＋c中，c2－6c＋c＝0，解得c＝0，或c＝5． 　　∴这个二次函数的解减为y＝x2－6x或y＝x2－6x＋5． 　　(2)二次函数y＝x2－6x的性质有：①b＝－6，c＝0；②图像过原点；③Δ＝36＞0，图像与x轴有两个交点(0，0)，(6，0)；④与x轴两个交点的距离为6；⑤最小值为－9；⑥顶点坐标为(3，－9)；⑦当x≥3时，y随x的增大而增大．当x≤3时，y随x的增大而减小． 　　二次函数y＝x2－6x＋5的性质有：①b＝－6，c＝5；②与y轴的交点坐标是(0，5)；③Δ＝16＞0，图像与x轴有两个交点是(1，0)，(5，0)；④与x轴的两个交点之间的距离为4；⑤最小值为－4；⑥顶点坐标为(3，－4)；⑦当x≥3时，y随x的增大而增大，当x≤3时，y随x的增大而减小． 　　(3)在被污染处可补充如下条件：①与y轴的交点坐标为(0，5)；②Δ＝16，c＞0；③抛物线的最小值为－9，且c≤0；④抛物线与x轴的两个交点间的距离为6，且b＜－c． 　　分析：本题中二次函数y＝x2＋bx＋c有两个未知的元素b、c，因此需要有两个条件才能求出b、c的值．而题目中一个条件是“过点A(c，0)”，另一个条件被污染了，但在求证中“图像关于直线对称”可以作为条件，从而求出b、c的值，求出二次函数的解析式，从而可以进一步讨论二次函数的性质．