Question

18．如图，在△ABC中，AC=BC，以BC边为直径作⊙O交AB边于点D，过点D作DE⊥AC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径等于$\frac{3}{2}$，cosB=$\frac{1}{3}$，求线段DE的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，根据等腰三角形的性质证明证明OD∥AC即可得出DE是⊙O的切线；
（2）根据cosB=$\frac{BD}{BC}$=$\frac{1}{3}$可求出BD与CD的长度，可利用等面积求出DE，也可利用△ACD∽△AD求出DE的长度．

解答 解：（1）证明：连结OD．
∵AC=BC，
∴∠A=∠B，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∴∠A=∠ODB，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线，

（2）如图，连结CD．
∵⊙O的半径等于$\frac{3}{2}$，
∴BC=3，∠CDB=90°，
在Rt△CDB中，
cosB=$\frac{BD}{BC}$=$\frac{1}{3}$，
∴BD=1，$CD=\sqrt{B{C^2}-B{D^2}}=\sqrt{{3^2}-{1^2}}=2\sqrt{2}$，
∵AC=BC=3，∠CDB=90°．
∴AD=BD=1，
解法一：在Rt△ADC中，$DE=\frac{AD•CD}{AC}=\frac{{1×2\sqrt{2}}}{3}=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，
解法二：∵∠A=∠A，∠ADC=∠AED=90°，
∴△ACD∽△ADE．
∴$\frac{AC}{AD}=\frac{CD}{DE}$．
∴$DE=\frac{AD•CD}{AC}=\frac{{1×2\sqrt{2}}}{3}=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$

点评 本题考查圆的综合问题，涉及切线的判定，等腰三角形的性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，综合程度较高．