Question

14．平行四边形ABCD中对角线AC、BO交于O，且AB=AC=2cm，∠ABC=60°，则△OAB的周长为3+$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先由平行四边形的性质求出OA，再证明△ABC是等边三角形，得出AB=BC，证出四边形ABCD是菱形，得出对角线AC⊥BD，运用勾股定理求出OB，即可求出△OAB的周长．

解答 解：如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=$\frac{1}{2}$AC=1，
∵∠AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴OB=$\sqrt{A{B}^{2}-O{A}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴△OAB的周长=OA+OB+AB=1+$\sqrt{3}$+2=3+$\sqrt{3}$；
故答案为：3+$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、菱形的判定以及勾股定理的运用；证明四边形是菱形是解决问题的关键．