Question

如图1，已知抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点的坐标；
（3）连接OA、AB，如图2，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△OBP与△OAB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）已知抛物线的顶点为A（2，1），设抛物线顶点式，把点O（0，0）代入即可求解析式；
（2）依题意得CD∥OB，CD=OB=4，又对称轴x=2，故D点横坐标x=6，代入抛物线解析式可求D点纵坐标，根据对称轴可求满足条件的点D′；
（3）根据抛物线对称轴可知AO=AB，△AOB为等腰三角形，要使得△OBP与△OAB相似，则∠POB=∠BOA，A与A′对称，可求直线OP的解析式，与抛物线解析式联立可求P点坐标，检验BP与OB是否相等．

解答：解：（1）由题意可设抛物线的解析式为
y=a（x-2）²+1
∵抛物线过原点，
∴0=a（0-2）²+1，
∴a=-

1

4

．
抛物线的解析式为y=-

1

4

（x-2）²+1，
即y=-

1

4

x²+x

（2）如图1，当四边形OCDB是平行四边形时，CD=OB，
由0=-

1

4

（x-2）²+1得x₁=0，x₂=4，
∴B（4，0），OB=4．
由于对称轴x=2
∴D点的横坐标为6．
将x=6代入y=-

1

4

（x-2）²+1，得y=-3，
∴D（6，-3）；
根据抛物线的对称性可知，
在对称轴的左侧抛物线上存在点D，使得四边形ODCB是平行四边形，此时D点的坐标为（-2，-3），
当四边形OCBD是平行四边形时，D点即为A点，此时D点的坐标为（2，1）

（3）不存在．
如图2，由抛物线的对称性可知：AO=AB，∠AOB=∠ABO．
若△BOP与△AOB相似，必须有∠POB=∠BOA=∠BPO
设OP交抛物线的对称轴于A′点，显然A′（2，-1）
∴直线OP的解析式为y=-

1

2

x
由-

1

2

x=-

1

4

x²+x，得x₁=0，x₂=6．
∴P（6，-3）
过P作PE⊥x轴，在Rt△BEP中，BE=2，PE=3，
∴PB=

13

≠4．
∴PB≠OB，
∴∠BOP≠∠BPO，
∴△PBO与△BAO不相似，
同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P点．
所以在该抛物线上不存在点P，使得△BOP与△AOB相似．

点评：本题考查了二次函数解析式的求法，利用抛物线的性质寻找平行四边形，相似三角形等问题，需要根据抛物线的对称性，形数结合，解答问题．