Question

某小区有一块直角三角形的绿地，量得两直角边AC=3米，BC=4米，考虑到这块绿地周围还有不少空余部分，于是打算将这块绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以BC边为一直角边的直角三角形，求扩充后得到的等腰三角形绿地的周长（写出所有可能的情形）．

Answer 1

分析：由于扩充所得的等腰三角形腰和底不确定，若设扩充所得的三角形是△ABD，则应分为①AB=BD，②AB=AD，③AD=BD三种情况进行讨论．

解答：解：（每种情况2分）；
如图；
（1）当AB=BD=5米时；
由于BC⊥AD，则AC=CD=3米；
此时等腰三角形绿地的周长=5+5+3+3=16米；

（2）当AB=AD=5米时；
Rt△BCD中，CD=AD-AC=2米，BC=4米；
由勾股定理，得BD=

BC2+CD2

=2

5

米；
此时等腰三角形绿地的周长=5+5+2

5

=（10+2

5

）米；
（

20

不化简不扣分）

（3）当AD=BD时，设AD=BD=x米；
Rt△BCD中，BD=x米，CD=（x-3）米；
由勾股定理，得BD²=BC²+CD²，即（x-3）²+4²=x²，解得x=

25

6

米；
此时等腰三角形绿地的周长=

25

6

×2+5=

40

3

米．

点评：此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用．