Question

已知直角三角形的边长均为整数，周长为60，求它的外接圆的面积．

Answer 1

解：设直角三角形的三边长分别为a，b，c（a≤b＜c），
则a+b+c=60．
∵a≤b＜c，a+b+c=60，
∴60=a+b+c＜3c，
∴c＞20．
∵a+b＞c，a+b+c=60，
∴60=a+b+c＞2c，
∴c＜30．
又∵c为整数，
∴21≤c≤29．根据勾股定理可得：a²+b²=c²，把c=60﹣a﹣b代入，化简得：ab﹣60（a+b）+1800=0，
∴（60﹣a）（60﹣b）=1800=2³×3²×5²，
∵a，b均为整数且a≤b，
∴只可能是或解得或，
∵三角形的外接圆的直径即为斜边长c，
∴当a=20，b=15时，c=25，三角形的外接圆的面积为；a=10，b=24时，c=26，三角形的外接圆的面积为169π．