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14.如图,△ABC中,BC=4,∠B=45°,AB=3$\sqrt{2}$,M、N分别是AB、AC上的点,MN∥BC.设MN=x,△MNC的面积为S.
(1)求出S与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)是否存在平行于BC的线段MN,使△MNC的面积等于2?若存在,请求出MN的长;若不存在,请说明理由.

分析 (1)过A作AD⊥BC与D,交MN于H,则AD⊥MN,通过△AMN∽△ABC,得到$\frac{AH}{AD}=\frac{MN}{BC}$,即$\frac{AH}{3}=\frac{x}{4}$,求得AH=$\frac{3}{4}$x,根据三角形的面积即可得到结论;
(2)当△MNC的面积等于2时,得到方程-$\frac{3}{8}{x}^{2}+\frac{3}{2}x$=2,由于△=-48<0,于是得到此方程无实数根,得到不存在平行于BC的线段MN,使△MNC的面积等于2.

解答 解:(1)过A作AD⊥BC与D,交MN于H,则AD⊥MN,
∵∠B=45°,AB=3$\sqrt{2}$,
∴AD=BD=3,
∵MN∥BC,
∴△AMN∽△ABC,
∴$\frac{AH}{AD}=\frac{MN}{BC}$,即$\frac{AH}{3}=\frac{x}{4}$,
∴AH=$\frac{3}{4}$x,
∴DH=AD-AH=3-$\frac{3}{4}$x,
∴S=$\frac{1}{2}$MN•DH=$\frac{1}{2}$•x•(3-$\frac{3}{4}$x)=-$\frac{3}{8}$x2+$\frac{3}{2}$x (0<x<4);

(2)不存在,当△MNC的面积等于2时,
即-$\frac{3}{8}{x}^{2}+\frac{3}{2}x$=2,
∵△=-48<0,
∴此方程无实数根,
∴不存在平行于BC的线段MN,使△MNC的面积等于2.

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质,根据三角形的面积公式求函数的解析式,等腰直角三角形的性质,一元二次方程根的情况,熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.

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