Question

14．如图，△ABC中，BC=4，∠B=45°，AB=3$\sqrt{2}$，M、N分别是AB、AC上的点，MN∥BC．设MN=x，△MNC的面积为S．
（1）求出S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）是否存在平行于BC的线段MN，使△MNC的面积等于2？若存在，请求出MN的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）过A作AD⊥BC与D，交MN于H，则AD⊥MN，通过△AMN∽△ABC，得到$\frac{AH}{AD}=\frac{MN}{BC}$，即$\frac{AH}{3}=\frac{x}{4}$，求得AH=$\frac{3}{4}$x，根据三角形的面积即可得到结论；
（2）当△MNC的面积等于2时，得到方程-$\frac{3}{8}{x}^{2}+\frac{3}{2}x$=2，由于△=-48＜0，于是得到此方程无实数根，得到不存在平行于BC的线段MN，使△MNC的面积等于2．

解答 解：（1）过A作AD⊥BC与D，交MN于H，则AD⊥MN，
∵∠B=45°，AB=3$\sqrt{2}$，
∴AD=BD=3，
∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴$\frac{AH}{AD}=\frac{MN}{BC}$，即$\frac{AH}{3}=\frac{x}{4}$，
∴AH=$\frac{3}{4}$x，
∴DH=AD-AH=3-$\frac{3}{4}$x，
∴S=$\frac{1}{2}$MN•DH=$\frac{1}{2}$•x•（3-$\frac{3}{4}$x）=-$\frac{3}{8}$x²+$\frac{3}{2}$x （0＜x＜4）；

（2）不存在，当△MNC的面积等于2时，
即-$\frac{3}{8}{x}^{2}+\frac{3}{2}x$=2，
∵△=-48＜0，
∴此方程无实数根，
∴不存在平行于BC的线段MN，使△MNC的面积等于2．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，根据三角形的面积公式求函数的解析式，等腰直角三角形的性质，一元二次方程根的情况，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．