Question

2．如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，点A （-15，0），点C（-6，12），点P是y轴上的一个动点，连结AP，并把△AOP绕着点A逆时针方向旋转．使边AO与AC重合．得到△ACD．
（1）求直线AC的解析式；
（2）当点P运动到点（0，5）时，求此时点D的坐标及DP的长；
（3）是否存在点P，使△OPD的面积等于5？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法可求得直线AC的解析式；
（2）先求出直线BC的解析式，判断出点D在直线BC的延长线上，
方法一、设出点D的坐标，利用两点间的距离公式建立方程即可得出结论；
方法二、构造相似三角形求出BE，DE即可得出结论；
（3）分三种情况，先同（2）的方法二得出，OE，再用三角形的面积公式建立方程求解即可．

解答 解：
（1）设直线AC的解析式为y=kx+b，
将A（-15，0）C（-6，12）代入得$\left\{\begin{array}{l}0=-15k+b\\ 12=-6k+b\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}k=\frac{4}{3}\\ b=20\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=$\frac{4}{3}$x+20；

（2）方法一、由（1）知，直线AC的解析式为y=$\frac{4}{3}$x+20，∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC，设直线BC的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+b'，
∵C（-6，12）在直线BC上，
∴-$\frac{3}{4}$×（-6）+b'=12，
∴b'=$\frac{15}{2}$，
∴直线BC的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{15}{2}$，
∵由A、C的△AOP绕着点A逆时针方向旋转．使边AO与AC重合．得到△ACD坐标，
∴AD=AP，
∵A（-15，0），P（0，5），
∴AP=$\sqrt{225+25}$=5$\sqrt{10}$，
∵点D在直线BC上，设D（m，-$\frac{3}{4}$m+$\frac{15}{2}$）（m＜-6），
∵A（-15，0），
∴AD=$\sqrt{（m+15）^{2}+（-\frac{3}{4}m+\frac{15}{2}）^{2}}$，
∴$\sqrt{（m+15）^{2}+（-\frac{3}{4}m+\frac{15}{2}）^{2}}$=5$\sqrt{10}$，
∴m=-2（舍）或m=-10，
∴-$\frac{3}{4}$m+$\frac{15}{2}$=15，
∴D（-10，15）
∵P（0，5），
∴DP=$\sqrt{100+100}$=10$\sqrt{2}$，

方法二、如图1，
∵点P（0，5），
∴OP=5，
由旋转知，CD=OP=5，点D在BC的延长线上，
由（1）知，直线AC的解析式为y=$\frac{4}{3}$x+20，
∵∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，设直线BC的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+b'，
∵C（-6，12）在直线BC上，
∴-$\frac{3}{4}$×（-6）+b'=12，
∴b'=$\frac{15}{2}$，
∴直线BC的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{15}{2}$，
∴F（0，$\frac{15}{2}$），B（10，0），
∵C（-6，12），
∴OF=$\frac{15}{2}$，BF=$\frac{25}{2}$，BC=20，
∴BD=BD+CD=25，
过点D作DE⊥x轴于E，
∴OF∥DE，
∴$\frac{BF}{BD}=\frac{OB}{BE}$=$\frac{OF}{DE}$，
∴$\frac{\frac{25}{2}}{25}=\frac{10}{BE}$=$\frac{\frac{15}{2}}{DE}$，
∴BE=20，DE=15，
∴OE=10，
∴D（-10，15）；
∵P（0，5），
∴DP=$\sqrt{100+100}$=10$\sqrt{2}$，

（3）设P（0，a），

①当a＞0时，OP=a，
∴同（2）的方法二得，BD=20+a，$\frac{BF}{BD}=\frac{OB}{BE}$，
∴BE=$\frac{BD•OB}{BF}$=$\frac{（20+a）•10}{\frac{25}{2}}$=$\frac{4}{5}$（a+20），
∴OE=BE-OB=$\frac{4}{5}$（a+20）-10=$\frac{4}{5}$a+6
∴$\frac{1}{2}$a（$\frac{4}{5}$a+6）=5
解得：a=$\frac{-15+5\sqrt{17}}{4}$或a=$\frac{-15-5\sqrt{17}}{4}$（舍去），
∴P（0，$\frac{-15+5\sqrt{17}}{4}$）
②当-$\frac{15}{2}$＜a＜0时，同①的方法得，OE=$\frac{4}{5}$a+6，
∴$\frac{1}{2}$（-a）（$\frac{4}{5}$a+6）=5．
解得a₁=-$\frac{5}{2}$，a₂=-5，
∴P（0，-$\frac{5}{2}$）或（0，-5）
③当a＜-$\frac{15}{2}$时，同①的方法得，OE=-$\frac{4}{5}$a-6，
∴$\frac{1}{2}$（-a）（-$\frac{4}{5}$a-6）=5
解得a=$\frac{-15+5\sqrt{17}}{4}$（舍去），a=$\frac{-15-5\sqrt{17}}{4}$
∴P（0，$\frac{-15-5\sqrt{17}}{4}$）
即：满足条件的P的坐标为（0，$\frac{-15+5\sqrt{17}}{4}$）、（0，-$\frac{5}{2}$）、（0，-5）、（0，$\frac{-15-5\sqrt{17}}{4}$）．

点评 此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，解（1）的关键是熟练掌握待定系数法，解（2）的关键是求出方法一，求出AP=5$\sqrt{10}$，方法二，是构造相似三角形，解（3）的关键是分类讨论，表示出OE．