Question

如图，平面直角坐标系xOy中，点p_n（x_n，y_n）在双曲线上（n，x_n，y_n都是正整数，且x₁＜x₂＜x₃＜…＜x_n）．抛物线y=ax²+bx+c经过（0，3），（-2，3），（1，0）三点．

x	…						…
y	…						…

（1）求抛物线y=ax²+bx+c的解析式并在坐标系中画出它的图象；
（2）直接写出点p_n（x_n，y_n）的坐标，并写出p_n中任意两点所确定的不同直线的条数；
（3）从（2）中得到的所有直线中随机（任意）取出一条，利用图象求取出的直线与抛物线有公共点的概率；
（4）设抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点分别为A，B（A在B左侧），将抛物线y=ax²+bx+c向上平移，平移后的抛物线与x轴的交点分别记为C，D（C在D左侧），求值．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c经过（0，3），（-2，3），（1，0）三点，
∴，解得：
∴抛物线的解析式为：y=-x²-2x+3

x	…	-3	-2	-1	0	1	…
y=-x2-2x+3	…	0	3	4	3	0	…

图象为：

（2）P点的坐标为：P₁（1，6），P₂（2，3），P₃（3，2），P₄（6，1），
p_n中任意两点所确定的不同直线的条数共有：6条．

（3）由图得，p_n中任意两点所确定的不同直线有：P₁P₂，P₁P₃，P₁P₄，P₂P₃，P₂P₄，P₃P₄6条，其中与抛物线有公共点的直线只有一条，P₃P₄，
∴从（2）中得到的所有直线中随机（任意）取出一条，取出的直线与抛物线有公共点的概率为：

（4）∵点C、点D是抛物线向上平移后与x轴的交点，
∴抛物线的对称轴不变，设抛物线的对称轴与抛物线的交点是点E，
∴CE=DE，AE=BE，
∴EC-AE=DE-BE，
∴AC=BD，
∴AB+AC=AB+BD，
∴BC=AD，
∵△P₁CBD的高=△P₁AD的高=h，
∴S_△P1CB=，S_△P1AD=
∴S_△P1CB=S_△P1AD
∴=1
分析：（1）利用待定系数法根据已知条件就可以直接求出抛物线的解析式．
（2）由条件可以知道xn，yn都是6的正约数，x₁＜x₂＜x₃＜…＜x_n．就可以求出x的值，从而求出Pn的坐标．
（3）先在画好抛物线的图象的坐标系中描出所有p_n（x_n，y_n）地坐标，再过点画直线，确定与 抛物线有交点的线段条数占总条数的比就是直线与抛物线有公共点的概率．
（4）根据抛物线的对称性可以求出抛物线向上平移后CB=AD，就可以得到这两个三角形的底相等，高相等，故可以求出面积之比．
点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了反比例函数k的几何意义，待定系数法求二次函数的解析式，概率的运用，图象的平移．