Question

18．如图，在四边形OACB中，CM⊥OA于M，∠1=∠2，CA=CB．求证：
（1）∠3+∠4=180°；
（2）OA+OB=2OM．

Answer 1

分析 首先过C作CE⊥OB于E，证明Rt△ECB≌Rt△MCA，进而得出Rt△ECO≌Rt△MCO，再利用全等三角形的性质得出结论即可．

解答 证明：作CE⊥OB于E，
∵CM⊥OA，
∴∠CEB=∠CMA=90°，
又∵∠1=∠2，
∴CE=CM，
在Rt△ECB和Rt△MCA中，
$\left\{\begin{array}{l}{EC=MC}\\{CB=CA}\end{array}\right.$，
∴Rt△ECB≌Rt△MCA（HL），
∴∠3=∠EBC，BE=AM，
在Rt△ECO和Rt△MCO中，
$\left\{\begin{array}{l}{CO=CO\\;}\\{EC=CM}\end{array}\right.$，
∴Rt△ECO≌Rt△MCO（HL），
∴EO=OM，
∵∠EBC+∠4=180°，
∴∠3+∠4=180°；
∴OA+OB=OM+AM+BO=OM+EB+BO=2OM．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定是解题关键．