已知⊙O1和⊙O2的半径都等于1.O1O2=5.在线段O1O2的延长线上取一点O3.使O2O3=3.以O3为圆心.R=5为半径作圆．(1)如图1.⊙O3与线段O1O2相交于点P1.过点P1分别作⊙O1和⊙O2的切线P1A1.P1B1(A1.B1为切点).连接O1A1.O2B1.求P1A1:P1B1的值,(2)如图2.若过O2作O2P2⊥O1O2交O3于点P2.又过点P2分别作⊙O1和⊙O2的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

已知⊙O₁和⊙O₂的半径都等于1，O₁O₂=5，在线段O₁O₂的延长线上取一点O₃，使O₂O₃=3，以O₃为圆心，R=5为半径作圆．

（1）如图1，⊙O₃与线段O₁O₂相交于点P₁，过点P₁分别作⊙O₁和⊙O₂的切线P₁A₁、P₁B₁（A₁、B₁为切点），连接O₁A₁、O₂B₁，求P₁A₁：P₁B₁的值；
（2）如图2，若过O₂作O₂P₂⊥O₁O₂交O₃于点P₂，又过点P₂分别作⊙O₁和⊙O₂的切线P₂A₂、P₂B₂（A₂、B₂为切点），求P₂A₂：P₂B₂的值；
（3）设在⊙O₃上任取一点P，过点P分别作⊙O₁和⊙O₂的切线PA、PB（A、B为切点），由（1）（2）的探究，请提出一个正确命题．（不要求证明）

分析：（1）根据⊙O₁和⊙O₂的半径都等于1，O₁O₂=5，O₂O₃=3，⊙O₃的半径为5，可求出O₁P₁，O₂P₁的长，由于P₁A₁、P₁B₁分别为两圆的切线，故可根据勾股定理求出P₁A₁：P₁B₁的值；
（2）连接O₁A₂，O₂B₂，P₂O₁，P₂O₃在Rt△O₂O₃P₂中，根据勾股定理P₂A₂：P₂B₂的值；
（3）根据（1）（2）的结论即可解答．

解答：

解：（1）在图1中，由已知A为切点，得O₁A₁⊥P₁A₁．
∴△O₁A₁P₁是直角三角形．
同理可得△O₂B₁P₁是直角三角形．
∴P₁A₁=

，P₁B₁=

．
∴P₁A₁：P₁B₁=

：

．

（2）在图2中，连接O₁A₂，O₂B₂，P₂O₁，P₂O₃．
在Rt△O₂O₃P₂中，P₂O₂=4，P₂B₂=

．
同理可解，得P₂O₁=

，P₂A₂=

．
∴P₂A₂：P₂B₂=

：

．

（3）提出的命题是开放性的，只要正确都可以．
如：1．设在⊙O₃上任取一点P，过点P分别作⊙O₁、⊙O₂的切线PA、PB（A、B为切点）．
则有PA：PB=2

：

或PA：PB是一个常数；
2．在平面上任取一点P，过点P分别作⊙O₁、⊙O₂的切线PA、PB（A、B为切点），
若PA：PB=

：

，则点P在⊙O₃上．

点评：此题比较复杂，信息量较大，解答此题的关键是作出辅助线，（3）是开放性题目，答案不唯一．

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6、已知⊙O₁和⊙O₂的半径分别为3cm和4cm，圆心距O₁O₂=6cm，那么⊙O₁和⊙O₂的位置关系是（　　）

A、内切

B、相交

C、外切

D、外离

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如图，已知⊙O₁和⊙O₂的半径分别为R、r，连接O₁O₂交⊙O₁于点M、交⊙O₂于点N．将一个直角三角尺的直角顶点C放在直线O₁O₂的上方，让两个直角边所在的直线分别经过点M、N，CM交⊙O₁于点A，CN交⊙O₂于点B．
（1）求证：O₁A∥O₂B；
（2）直线AB和直线O₁O₂能否平行？若能够，试指出什么条件下，AB∥O₁O₂；若不能，试说明理由．
（3）是否存在一点C，使CM•CA=CN•CB？若存在，请说明如何确定点C的位置，并证明你的结论；如果不存在，请说明理由．