如图.平行四边形ABCD中.AB⊥AC.AB=1.BC=5．对角线AC.BD相交于点O.将直线AC绕点O顺时针旋转.分别交BC.AD于点E.F．(1)证明:当旋转角为90°时.四边形ABEF是平行四边形,(2)试说明在旋转过程中.线段AF与EC总保持相等,(3)在旋转过程中.四边形BEDF可能是菱形吗?如果不能.请说明理由,如果能.说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC=

．对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F．
（1）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；
（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；
（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．

分析：（1）当旋转角为90°时，∠AOF=90°，由AB⊥AC，可得AB∥EF，即可证明四边形ABEF为平行四边形；
（2）证明△AOF≌△COE即可；
（3）EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形，可根据勾股定理求得AC=2，∴OA=1=AB，又AB⊥AC，∴∠AOB=45°．

解答：（1）证明：当∠AOF=90°时，
∵∠BAO=∠AOF=90°，
∴AB∥EF，
又∵AF∥BE，
∴四边形ABEF为平行四边形．

（2）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
在△AOF和△COE中

∠FAO=∠ECO

AO=CO

∠AOF=∠COE

．
∴△AOF≌△COE（ASA）．
∴AF=EC．

（3）解：四边形BEDF可以是菱形．
理由：如图，连接BF，DE

由（2）知△AOF≌△COE，得OE=OF，
∴EF与BD互相平分．
∴当EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形．
在Rt△ABC中，AC=

(

)2-1

5-1

=2，
∴OA=1=AB，
又∵AB⊥AC，
∴∠AOB=45°，
∴∠AOF=45°，
∴AC绕点O顺时针旋转45°时，四边形BEDF为菱形．

点评：此题结合旋转的性质，主要考查平行四边形和菱形的判定，有一定难度．

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（1）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；
（2）当旋转角为90°时，在图2中画出直线AC旋转后的位置并证明此时四边形ABEF是平行四边形；
（3）在直线AC旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．（图供画图或解释时使用）

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