Question

8．如图，已知原点O，A（0，4），B（2，0），将△OAB绕平面内一点P逆时针旋转90°，使得旋转后的三角形的两个顶点恰好落在双曲线y=$\frac{-6}{x}$（x＜0）上，则旋转中心P的坐标为（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 根据旋转的性质得：A′O′=AO=4，O′B′=OB=2，因为A′和B′恰好落在双曲线y=$\frac{-6}{x}$（x＜0）上，设A′（m，-$\frac{6}{m}$），则B′（m+4，-$\frac{6}{m}$+2），根据反比例函数列式为：（m+4）（-$\frac{6}{m}$+2）=-6，求m的值，写出A′和B′的坐标，作辅助线，构建两全等三角形，根据A′G=PH，PG=AH，列方程组可得结论．

解答 解：由旋转得：△AOB≌△A′O′B′，
∴A′O′=AO=4，O′B′=OB=2，
设A′（m，-$\frac{6}{m}$），则B′（m+4，-$\frac{6}{m}$+2），
则（m+4）（-$\frac{6}{m}$+2）=-6，
m²+4m-12=0，
（m+6）（m-2）=0，
m₁=-6，m₂=2（舍），
∴A′（-6，1），B′（-2，3），
过P作GH∥x轴，交y轴于H，过A′作A′G⊥x轴，连接PA、PA′，
设P（x，y），
则A′G=1-y，PG=6+x，PH=-x，AH=4-y，
由旋转得：AP=A′P，
易证明△PA′G≌△APH，
∴A′G=PH，PG=AH，
则$\left\{\begin{array}{l}{1-y=-x}\\{6+x=4-y}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3}{2}}\\{y=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴P（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{2}$）；
故答案为：（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的特征、旋转的性质、三角形全等的性质和判定，本题画出图出旋转后的三角形确定点P的位置是关键，根据旋转角为直角构建全等三角形解决问题．