Question

【题目】综合与探究

（1）操作发现：如图1，点D是等边△ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连结DC，以DC为边在CD上方作等边△DCF，连结AF，你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？证明你发现的结论．

（2）类比猜想：如图2，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其余条件不变，猜想：（1）中的结论是否成立，并说明理由．

（3）拓展探究：如图3.当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与点B不重合），连结DC，以DC为边在CD上方和下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连结AF，BF′，探究：AF、BF′与AB有何数量关系？并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）AF＝BD，证明见解析；（2）AF＝BD，理由见解析；（3）AF+BF′＝AB，理由见解析．

【解析】

（1）如图①中中，结论：AF＝BD.证明△BCD≌△ACF（SAS）可得结论.

（2）如图②中，结论：AF＝BD.证明△BCD≌△ACF（SAS）可得结论.

（3）如图③中.结论：AF+BF′＝AB.利用全等三角形的性质解决问题即可.

解：（1）如图①中中，结论：AF＝BD.

理由：∵△ABC，△DCF都是等边三角形，

∴CB＝CA，CD＝CF，∠BCA＝∠DCF＝60°，

∴∠BCD＝∠ACF，

∴△BCD≌△ACF（SAS），

∴BD＝CF.

（2）如图②中，结论：AF＝BD.

理由：∵△ABC，△DCF都是等边三角形，

∴CB＝CA，CD＝CF，∠BCA＝∠DCF＝60°，

∴∠BCD＝∠ACF，

∴△BCD≌△ACF（SAS），

∴BD＝CF.

（3）如图③中.结论：AF+BF′＝AB.

理由：∵△ABC，△DCF都是等边三角形，

∴CB＝CA，CD＝CF，∠BCA＝∠DCF＝60°，

∴∠BCD＝∠ACF，

∴△BCD≌△ACF（SAS），

∴BD＝CF.

同法可证：△ACD≌△BCF′（SAS），

∴AD＝BF′，

∴AF+BF′＝BD+AD＝AB.