Question

13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点P，若AB=4，AC=2$\sqrt{3}$，
求：（1）∠A的度数； 
（2）弦CD的长； 
（3）弓形CBD的面积．

Answer 1

分析 （1）连接CB，AC，由AB是⊙O的直径，得到∠ACB=90°；解直角三角形即可得到结论；
（2）解直角三角形得到CP=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{3}$根据垂径定理即可得到结论；
（3）连接CO，OD，根据圆周角定理得到∠COD=120°，求得S_扇形COD=$\frac{120•π×{2}^{2}}{360}$=$\frac{4}{3}$π，S_△COD=$\frac{1}{2}$CD•OP=$\sqrt{3}$，于是得到结论．

解答 解：（1）连接CB，AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°；
∴CB²=AB²-AC²=4²-（2√3）²=16-12=4
∴CB=2=$\frac{1}{2}$AB
∴∠A=30°；
（2）∵∠A=30°，CD⊥AB，
∴CP=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{3}$，
CD=2CP=AC=2$\sqrt{3}$；
（3）连接CO，OD，
∵CO=AO，
∴∠A=∠ACO=30°，∠COB=2∠A=60°，
∴∠COD=120°，
∴S_扇形COD=$\frac{120•π×{2}^{2}}{360}$=$\frac{4}{3}$π，
∵OP=$\frac{1}{2}$OC=1，
∴S_△COD=$\frac{1}{2}$CD•OP=$\sqrt{3}$，
∴弓形CBD的面积=S_扇形COD-S_△COD=$\frac{4}{3}$π-$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了垂径定理、勾股定理以及扇形的面积的计算，注意掌握数形结合思想的应用．