Question

4．已知正方形ABCD，AB=4，点P是AD边上一个动点（不运动至端点）．以AP、PE为边在AD上方作矩形APFE，其中边AP：AE=2：1．
（1）如图（1），连接DF，延长BP交DE于Q，若BQ⊥FD于Q，求AP长．
（2）如图（2），在点P运动过程中，矩形AEFP面积是S₁，矩形PDCG面积是S₂，设S₁+S₂=k，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设AP=x，则AE=PF=$\frac{1}{2}$x，PD=4-x，只要证明△ABP∽△PDF，得$\frac{AP}{PF}$=$\frac{AB}{PD}$，列出方程即可解决问题．
（2）设AP=x，则k=S₁+S₂=$\frac{1}{2}$•x•x+4（4-x）=$\frac{1}{2}$x²-4x+16，利用二次函数的性质即可解决问题．

解答 解：（1）∵FD⊥BQ，PF⊥AD，
∴∠DPF=∠PQD=90°，
∴∠DPQ+∠FPQ=90°，∠FPQ+∠PFD=90°，
∴∠DPQ=∠PFD，
∵∠DPQ=∠APB，
∴∠APB=∠DFP，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=4，∠BAP=∠DPF=90°，
∴△ABP∽△PDF，
∴$\frac{AP}{PF}$=$\frac{AB}{PD}$，设AP=x，则AE=PF=$\frac{1}{2}$x，PD=4-x，
∴$\frac{x}{\frac{1}{2}x}$=$\frac{4}{4-x}$，
∴x=2，
∴AP=2．

（2）设AP=x，则k=S₁+S₂=$\frac{1}{2}$•x•x+4（4-x）=$\frac{1}{2}$x²-4x+16，
∵抛物线的对称轴x=4，0＜x＜4，
∴8＜$\frac{1}{2}$x²-4x+16＜16，
∴8＜k＜16．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质、正方形的性质、二次函数的应用等知识，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定和性质，学会构建二次函数解决实际问题，属于中考常考题型．