Question

19．已知：A（2，0），B（2，2），C（0，2），点D（m，0）是线段OA上一点，AE⊥BD交y轴于E，交BD于F．
（1）正方形OABC的周长是8；
（2）当m=1时，求点F的坐标；
（3）如果$\frac{1}{2}$≤m≤$\frac{3}{2}$，直线y=kx+2-2k（k≠0）与直线EF始终有交点，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据点A、B、C的坐标即可得出正方形OABC的边长，利用正方形的周长公式即可得出结论；
（2）由m=1可得出点D的坐标，根据点B、D的坐标利用待定系数法即可得出直线BD的解析式，根据AE⊥BD以及正方形的性质即可证出△AOE≌△BAD（ASA），从而得出OE=AD，即得出点E的坐标，根据点A、E的坐标利用待定系数法即可求出直线AE的解析式，再联立直线BD、AE的解析式成方程组，解方程组即可得出点F的坐标；
（3）由y=kx+2-2k=k（x-2）+2可知该直线恒过点B（2，2），由平行线的定义可知当该直线与AE平行时，与直线EF则无交点．由（2）的结论可知当m=$\frac{1}{2}$和$\frac{3}{2}$时，点E的坐标，利用待定系数法即可求出此时直线AE的解析式，由此即可得出当$\frac{1}{2}$≤m≤$\frac{3}{2}$时，直线AE中一次项系数n的取值范围，令直线y=kx+2-2k（k≠0）不与直线AE平行即可得出k的取值范围．

解答 解：（1）∵A（2，0），B（2，2），C（0，2），
∴正方形OABC的边长为2，周长为4×2=8．
故答案为：8．
（2）当m=1时，点D的坐标为（1，0）．
设直线BD的解析式为y=ax+b（a≠0），
则$\left\{\begin{array}{l}{2a+b=2}\\{a+b=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴直线BD的解析式为y=2x-2．
∵AE⊥BD，四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD=90°，∠AOE=90°，BA=AO，
∴∠ADB+∠EAO=90°，∠ADB+∠DBA=90°，
∴∠EAO=∠DBA．
在△AOE和△BAD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠DBA}\\{BA=AO}\\{∠AOE=∠BAD=90°}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△BAD（ASA），
∴OE=AD．
∵m=1，AD=AO-m=1，
∴E（0，1）．
设直线AE的解析式为y=nx+1，
则0=2n+1，解得：n=-$\frac{1}{2}$，
∴直线AE的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+1．
联立直线BD、AE的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-2}\\{y=-\frac{1}{2}+1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{6}{5}}\\{y=\frac{2}{5}}\end{array}\right.$，
∴点F的坐标为（$\frac{6}{5}$，$\frac{2}{5}$）．
（3）∵y=kx+2-2k=k（x-2）+2，
∴直线y=kx+2-2k（k≠0）始终过点B（2，2），
当直线y=kx+2-2k（k≠0）与直线AE平行时，则直线y=kx+2-2k（k≠0）与直线EF无交点．
由（2）可知：当m=$\frac{1}{2}$时，E（0，$\frac{3}{2}$）；当m=$\frac{3}{2}$时，E（0，$\frac{1}{2}$）．
设直线AE的解析式为y=nx+（2-m），
当m=$\frac{1}{2}$时，有0=2n+$\frac{3}{2}$，解得：n₁=-$\frac{3}{4}$；
当m=$\frac{3}{2}$时，有0=2n+$\frac{1}{2}$，解得：n₂=-$\frac{1}{4}$．
∴直线AE的解析式y=nx+（2-m）在$\frac{1}{2}$≤m≤$\frac{3}{2}$中，-$\frac{3}{4}$≤n≤-$\frac{1}{4}$．
∵直线y=kx+2-2k（k≠0）与直线EF始终有交点，
∴k＜-$\frac{3}{4}$或k＞-$\frac{1}{4}$．
答：k的取值范围为k＜-$\frac{3}{4}$或k＞-$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了正方形的周长、待定系数法求函数解析式、解二元一次方程组以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）求出正方形的边长；（2）分别求出直线BD、AE的解析式；（3）求出当$\frac{1}{2}$≤m≤$\frac{3}{2}$时，直线AE的一次项系数的取值范围．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，巧妙的利用了全等三角形的性质找出点E的坐标是关键．