Question

如图，已知D、E分别是△ABC的边BC、CA上的点，且BD=4，DC=1，AE=5，EC=2．连接AD和BE，它们相交于点P，过点P分别作PQ∥CA，PR∥CB，它们分别与边AB交于点Q、R，则△PQR的面积与△ABC的面积之比为

 

．

Answer 1

分析：过点E作EF∥AD，根据平行线分线段成比例求出FD的长，进一步求出PQ的长，然后判定△PQR和△CAB相似，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，求出两个三角形的面积的比．

解答：解：如图：
过点E作EF∥AD，且交BC于点F，则

CF

FD

=

CE

EA

=

2

5

，
∴FD=

5

5+2

×CD=

5

7

，
∵PQ∥CA，
∴

PQ

EA

=

BP

BE

=

BD

BF

=

4

4+ 5 7

=

28

33

，
于是PQ=

140

33

，
∵PQ∥CA，PR∥CB，
∴∠QPR=∠ACB，
∵△PQR∽△CAB，
∴

S△PQR

S△CAB

=(

PQ

CA

)2=(

20

33

)2=

400

1089

．
故答案是：

400

1089

．

点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，先根据平行线分线段成比例作出辅助线EF，求出PQ的长，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，求出两相似三角形面积的比．