Question

13．如图，一次函数y=kx+b的图象与坐标轴分别交于A、B两点，与反比例函数$y=\frac{n}{x}$的图象在第二象限的交点为C，CD⊥x轴，垂足为D，若OB=2，OD=4，△AOB的面积为1．
（1）求一次函数与反比例的解析式；
（2）不等式组$\frac{k}{x}$＞kx+b＞0的解集为-4＜x＜0．

Answer 1

分析 （1）根据点A和点B的坐标求出一次函数的解析式．再求出C的坐标是（-4，1），利用待定系数法求解即可求反比例函数的解析式；
（2）根据一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=$\frac{n}{x}$的图象的交点即可求出kx+b-=$\frac{n}{x}$＞0的解集．

解答 解：（1）∵OB=2，△AOB面积为1，
∴B（-2，0），OA=1，
∴A（0，-1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=-1}\\{-2k+b=0}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴一次函数解析式为y=-$\frac{1}{2}$x-1．
又∵OD=4，CD⊥x轴，
∴C（-4，y）．将x=-4代入y=-$\frac{1}{2}$x-1，得
y=1，
∴C（-4，1），
∴1=$\frac{n}{-4}$，∴n=-4，
∴y=-$\frac{4}{x}$；

（2）∵$\frac{n}{x}$＞kx+b＞0
∴当y＞0时，$\frac{n}{x}$＞kx+b的解x的取值范围为：-4＜x＜0．

点评 本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用到的知识点是待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，这里体现了数形结合的思想，关键是根据反比例函数与一次函数的交点求出不等式的解集．