Question

【题目】如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝，点E从A出发沿线段AC运动至点C停止，ED⊥AB，EF⊥AC，将△ADE沿直线EF翻折得到△A′D′E，设DE＝x，△A′D′E与△ABC重合部分的面积为y．

（1）当x＝　 　时，D′恰好落在BC上？

（2）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；

（2）.

【解析】

（1）先根据勾股定理求出AB的值，然后根据同角的正弦函数值相等表示出AE为3x，当点D′恰好落在BC上时，再根据等角的三角函数值相等表示出EC为，然后求出x的值即可；

（2）由（1）可得AE和AD，当点A'与点C重合时，求出x的值，然后根据三角形的面积公式分三种情况讨论，求出y关于x的函数关系式即可.

解：（1）在Rt△ABC中，AB＝，

∴sinA=,

∵DE=x，

∴AE＝3x，

当D′恰好落在BC上时，如图所示：

ED′＝ED＝x，∠DEA＝∠D′EC，

∴∠ED′C＝∠A，

∴EC＝x，

∵3x+x＝6，

∴x＝，

故答案为：；

（2）由（1）可得，AE=3x，

∴AD＝，

当点A'与点C重合时，AE=EC=AC=3，

∴3x＝3

∴x＝1．

①当0＜x≤1时，如图1，y=；

②当1＜x≤时，如图2，

∵AE＝A'E＝3x，

∴AA'＝6x．

∴CA'＝6x﹣6．

∵tan A'，

∴，

∴y=

＝-；

③当时，如图3，

∵∠EIC+∠IEC＝∠IEC+∠A'，

∴∠EIC＝∠A'．

∴ ,

∵CE＝（6﹣3x），

∴

∴

＝

综上所述，.