Question

7．如图，抛物线C₁：y₁=tx²-1（t＞0）和抛物线C₂：y₂=-4（x-h）²+1（h≥1）．
（1）两抛物线的顶点A、B的坐标分别为（0，1）和（h，1）；
（2）设抛物线C₂的对称轴与抛物线C₁交于点N，则t为何值时，A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形．
（3）设抛物线C₁与x轴的左交点为点E，抛物线C₂与x轴的右边交点为点F，试问，在第（2）问的前提下，四边形AEBF能否为矩形？若能，求出h值；若不能，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据顶点时的抛物线解析式，可得顶点坐标；
（2）根据平行四边形的判定：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得关于t的方程，根据解方程，可得答案；
（3）根据二次项的系数互为相反数，可得顶点的纵坐标互为相反数，两抛物线成中心对称，根据相似三角形的判定与性质，可得关于t的方程，根据解方程，可得答案．

解答 解：（1）抛物线C₁：y₁=tx²-1的顶点坐标是（0，-1），
抛物线C₂：y₂=-4（x-h）²+1的顶点坐标是（h，1），
故答案为：（0，-1），（h，1）；

（2）∵AM∥BN，
∴当AM=BN时，A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，
∵当x=h时，y₁=1，y₂=tx²-1=th²-1，
∴PN=|1-（th²-1）\=|2-th²|．
①当点B在点A的下方时，4h²-2=th²-2，∵h²≠0，∴t=4；
②当点B在点A的上方时，4h²-2=2-th²，整理，得t+4=$\frac{4}{{h}^{2}}$，
∵t＞0时，t+4＞4；当h≥1时，$\frac{4}{{h}^{2}}$≤4，
∴这样的t值不存在，
答：当点B在点A的下方时，t=4，当点B在点A的上方时不存在；

（3）由（2）可知，二次项系数互为相反数，
∴两抛物线的形状相同，故它们成中心对称，
∵点A和点B的纵坐标的绝对值相同，
∴两抛物线得对称中心落在x轴上．
∵四边形AEBF是平行四边形，
∴当∠EAF=90°时，四边形AFBE是矩形，
∵抛物线C₁与x轴左交点坐标是（-$\frac{1}{2}$，0），
∴OE=$\frac{1}{2}$．
∵抛物线C₂与x轴右交点坐标是（h+$\frac{1}{2}$，0）且h≥1，
∴OF=h+$\frac{1}{2}$．
∵∠FAO+∠EAO=90°，∠EAO+AEO=90°，
∴∠FAO=∠AEO，
又∵∠FOA=∠EOA=90°，
∴△AEO∽△FAO，$\frac{AO}{OE}$=$\frac{OF}{AO}$
∴OA²=OE•OF，即$\frac{1}{2}$（h+$\frac{1}{2}$）=1，解得h=$\frac{3}{2}$＞1，
∴四边形AEBF能为矩形，且h的值为$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是利用顶点式解析式得出顶点坐标；解（2）的关键是利用平行四边形的判定得出关于t的方程，要分类讨论，以防遗漏；解（3）的关键是利用相似三角形的判定与性质得出关于h的方程．