Question

18．已知△ABC是边长为4的等边三角形，BC在x轴上，点D为BC的中点，点A在第一象限内，AB与y轴的正半轴交于点E，点B（-1，0），F是线段AD上的一个动点，连接CF．
（1）请直接写出点A，E的坐标；
（2）若y=8$\sqrt{3}$x²+bx+c过点A、E，求抛物线的解析式；
（3）将线段CF绕点C逆时针旋转60°得线段CG，连接DG，则在点F的运动过程中，求使得DG最小的点G₁的坐标，同时判断点G₁是否在抛物线y=8$\sqrt{3}$x²+bx+c上并说明理由；
（4）连接BG₁，在抛物线y=8$\sqrt{3}$x²+bx+c上求点P，使得S${△}_{B{G}_{1}P}$=3S${\;}_{△B{G}_{1}D}$，请直接写出点P的横坐标．

Answer 1

分析 （1）利用等边三角形的性质及勾股定理即可求出点A的坐标，而点E的坐标利用特殊△OBE性质即可求得．
（2）根据待定系数法求抛物线y=8$\sqrt{3}$x²+bx+c的解析式．
（3）连接BG，可证明△ACF≌△BCG，由等边三角形的性质可知∠CBG=30°是一个定值，再根据垂线段最短可求得G₁ 的坐标．
（4）如图2中所示：延长G₁D交AC于M，过点M作直线MN∥BG₁．与抛物线交于点P、P′，只要证明P、P′满足条件即可解决问题．

解答 解：（1）∵△ABC是边长为4的等边三角形，点B（-1，0），
∴点C（3，0），
又∵点D为BC的中点，
∴D（1，0），∠ADC=90°°，
∴AD=$\sqrt{A{C}^{2}-D{C}^{2}}$=$\sqrt{16-4}$=2$\sqrt{3}$，
∴A（1，2$\sqrt{3}$）又∵∠EBO=60°，∠BEO=30°∴OE=$\sqrt{3}$OB=$\sqrt{3}$，
∴E（0，$\sqrt{3}$）．

（2）∵抛物线y=8$\sqrt{3}$x²+bx+c过点A、E，
∴$\left\{\begin{array}{l}{8\sqrt{3}+b+c=2\sqrt{3}}\\{c=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，解之得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-7\sqrt{3}}\\{c=\sqrt{3}}\end{array}\right.$
∴抛物线的解析式为：y=8$\sqrt{3}$x²-7$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$

（3）如些图1中所示：连接BG，作G₁ H⊥x轴于点H，

∵由题意知∠1+∠3=∠2+∠3=60°，
∴∠1=∠2，
∴在△ACF与△BCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠1=∠2}\\{CF=CG}\end{array}\right.$
∴△ACF≌△BCG，
∴∠CBG=∠CAF=30°，
即：∠CBG是一个定值，根据垂段最短可知，当DG₁⊥AG时DG最短，
∵在Rt△BG₁ D中，∠DBG₁=30°，BD=2，
∴BG₁=$\sqrt{3}$
作G₁ H⊥x轴于点H，则：G₁ H=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．BH=$\frac{3}{2}$
∴OH=$\frac{3}{2}-1$=$\frac{1}{2}$
∴点G₁ 的坐标为：（$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）
∵当x=$\frac{1}{2}$时，y=8$\sqrt{3}$x²-7$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$×$\frac{1}{4}$-7$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$+$\sqrt{3}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴点G₁ （$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）在抛物线y=8$\sqrt{3}$x²+bx+c上．

（4）如图2中所示：延长G₁D交AC于M，过点M作直线MN∥BG₁．与抛物线交于点P、P′．

由（3）可知∠BDG₁=∠CDM=∠MCD=60°，
∴△CDM是等边三角形，
∵BD=CD=DM=2DG₁，
∴MG₁=3DG₁，∵MG₁⊥BG₁，
∴${S}_{△PB{G}_{1}}$=3${S}_{△BD{G}_{1}}$，${S}_{△P′B{G}_{1}}$=3${S}_{△BD{G}_{1}}$，
∵直线BG₁解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，MN∥BG₁，M（3，$\sqrt{3}$），
∴直线MN的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2$\sqrt{3}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+2\sqrt{3}}\\{y=8\sqrt{3}{x}^{2}-7\sqrt{3}x+\sqrt{3}}\end{array}\right.$，消去y得到24x²-20x-3=0，
解得x=$\frac{5±\sqrt{43}}{12}$，
∴满足条件的点P的横坐标为$\frac{5±\sqrt{43}}{12}$．

点评 本题考查二次函数综合题、待定系数法、一次函数、旋转变换、勾股定理、平行线的性质等知识，解题的关键是熟练应用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，学会构建一次函数的思想，学会利用方程组求两个函数的交点坐标，属于中考压轴题．