Question

如图，AB是半圆的直径，弦CD∥AB，过点B的切线交AD的延长线于E，过点E作EF⊥AC交AC的延长线于F，求证：AC=CF．

Answer 1

证明：连接BC，设交AE于G点，
∵弦CD∥AB，AB是半圆的直径，
可证得：△BAC≌△ABD，
∴∠BAG=∠ABG，
∴AG=BG
∵点B是半圆的切线，
∴∠BAG+∠BEA=90°，∠BAG=∠ABG，
∠ABG+∠EBG=90°，
∴∠GBE=∠GEB，
∴BG=EG，
∴AG=BG=EG，
则点G为直角三角形ABE斜边上的中点，
∵AB是半圆的直径，
∴BC⊥AC，EF⊥AC，
∴BC∥EF，
∵G为AE的中点，
∴CG为中位线，
∴C为AF中点．
分析：连接BC，设交AE于G点，则易证G为直角三角形ABE斜边上的中点，又BC垂直于AC，EF垂直于AC，所以BC平行于EF，所以CG为中位线，所以C为AF中点．
点评：此题主要考查了切线的性质定理，以及平行线分线段成比例定理和直角三角形的性质，综合性较强．