Question

在一次数学兴趣小组的活动课上，师生有下面的一段对话，请你阅读完后再解答问题．
老师：同学们，今天我们来探索如下方程的解法：（x²-x）²-（x²-x）+12=0
学生甲：老师，这个方程先去括号，再合并同类项，行吗？
老师：这样，原方程可整理为x⁴-2x³-7x²+8x+12=0，次数变成了4次，用现有知识无法解答．同学们再观察观察，看看这个方程有什么特点？
学生乙：老师，我发现x²-x是整体出现的，最好不要去括号！
老师：很好，我们把x²-x看成一个整体，用y表示，即x²-x=y，那么原方程就变为y²+8y+12=0．
全体学生：（同学们都特别高兴）噢，这不是我们熟悉的一元二次方程吗？！
老师：大家真会观察和思考，太棒了！显然一元二次方程y²+8y+12=0的根是y₁=6，y₂=2，那么就有x²-x=6或x²-x=2．
学生丙：对啦，再解这两个方程，可得原方程的根x₁=3，x₂=-2，x₃=2，x₄=-1，嗬，有这么多根啊！
老师：同学们，通常我们把这种方法叫做换元法．在这里使用它的最大妙处在于降低了原方程的次数，这是一种重要的转化方法．
全体同学：OK，换元法真神奇！
现在，请你用换元法解下列分式方程：(

x

x-1

)2-5(

x

x-1

)-6=0．

Answer 1

分析：可设y=

x

x-1

，则原方程化为y²-5y-6=0，可解得，y₁=6，y₂=-1，即

x

x-1

=6，

x

x-1

=-1，解出x的值，验根即可．

解答：解：设y=

x

x-1

，则原方程化为y²-5y-6=0，
解关于y的一元二次方程得：y₁=6，y₂=-1，
将y=6代入y=

x

x-1

中，x₁=

6

5

，
将y=-1代入y=

x

x-1

中，x₂=

1

2

，
将x₁=

6

5

，x₂=

1

2

代入原方程检验知，它们均为原方程的根．
∴方程(

x

x-1

)2-5(

x

x-1

)-6=0的解为x₁=

6

5

，x₂=

1

2

．

点评：本题考查了换元法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．