Question

1．如图，⊙O的半径为6，AB是⊙O的直径，C、D是AB的三等分点，∠ECB=∠FDB=60°，则图中阴影部分的面积是6$\sqrt{11}$．

Answer 1

分析 连接OE，OF，延长EC交圆于G，连接OG、AG，作AM⊥EG于M，OH⊥EG于H，先证得△ACG≌△BDF，从而证得阴影部分的面积就是△AEG的面积，解特殊角的三角函数求得OH、AM，然后根据勾股定理和垂径定理求得EG，最后根据三角形的面积公式即可求得．

解答 解：连接OE，OF，延长EC交圆于G，连接OG、AG，作AM⊥EG于M，OH⊥EG于H，
∵∠ECB=∠FDB=60°，
∴EG∥FD，
∴∠OCG=∠ODF，∠OGC=∠OFD，
在△COG和△DOF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OCG=∠ODF}\\{∠OGC=∠OFD}\\{OC=OD}\end{array}\right.$，
∴△COG≌△DOF（AAS），
∴CG=DF，
在△ACG和△BDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BD}\\{∠ACG=∠BDF=60°}\\{CG=BF}\end{array}\right.$，
∴△ACG≌△BDF（SAS），
∴阴影部分的面积就是△AEG的面积，
∵OC=2，∠ECB=60°，
∴OH=$\sqrt{3}$，
∴EH=$\sqrt{O{E}^{2}-O{H}^{2}}$=$\sqrt{33}$，
∴EG=2EH=2$\sqrt{33}$，
同理证得：AM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AC=2$\sqrt{3}$，
∴S_△AEG=$\frac{1}{2}$EG•AM=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{33}$×2$\sqrt{3}$=6$\sqrt{11}$，
即阴影部分的面积为6$\sqrt{11}$．
故答案为6$\sqrt{11}$．

点评 本题考查了三角形旋转的性质，解特殊角的三角函数，勾股定理的应用，三角形面积公式等，证得△ACG≌△BDF是解题的关键．