Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，AH⊥BC，垂足为H，D为直线BC上一动点（不与点B、C重合），在AD的右侧作△ADE，使得AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE．

（1）求证：∠ABC=∠ACB；

（2）当D在线段BC上时，

①求证：△BAD≌△CAE；②当点D运动到何处时，AC⊥DE，并说明理由；

（3）当CE∥AB时，若△ABD中最小角为20°，试探究∠ADB的度数．（直接写出结果，无需写出求解过程）

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②D运动到BC中点（H点）时，AC⊥DE，理由见解析；（3）20°或40°或100°

【解析】

（1）证明Rt△AHB≌Rt△AHC（HL），即可解决问题．
（2）①根据SAS即可证明；②D运动到BC中点（H点）时，AC⊥DE；利用等腰三角形的三线合一即可证明；
（3）分三种情形分别求解即可解决问题；

解：（1）∵AB=AC，AH⊥BC，
∴∠AHB=∠AHC=90°，
在Rt△AHB和Rt△ACH中，

∴Rt△AHB≌Rt△AHC（HL），
∴∠ABC=∠ACB．
（2）①如图1中，

∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，

∴△BAD≌△CAE．
②D运动到BC中点（H点）时，AC⊥DE；
理由：如图2中，∵AB=AC，AH⊥BC，

∴∠BAH=∠CAH，
∵∠BAH=∠CAE，
∴∠CAH=∠CAE，
∵AH=AE，
∴AC⊥DE．

（3）∠ADB的度数为20°或40°或100°．
理由：①如图3中，当点D在CB的延长线上时，

∵CE∥AB，
∴∠BAE=∠AEC，∠BCE=∠ABC，
∵△DAB≌△EAC，
∴∠ADB=∠AEC，∠ABD=∠ACE，
∴∠BAC=∠BAE+EAC=∠AEC+∠EAC=180°-∠ACE=180°-∠ABD=∠ABC=∠ACB，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°

∵△ABD中的最小角是∠BAD=20°，则∠ADB=∠ABC-∠BAD=40°．
②当点D在线段BC上时，最小角只能是∠DAB=20°，此时∠ADB=180°-20°-60°=100°．
③当点D在BC 延长线上时，最小角只能是∠ADB=20°，
综上所述，满足条件的∠ABD的值为20°或40°或100°．