Question

【题目】如图抛物线y＝ax2+ax+c（a≠0）与x轴的交点为A、B（A在B的左边）且AB＝3，与y轴交于C，若抛物线过点E（﹣1，2）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在x轴的下方是否存在一点P使得△PBC的面积为3？若存在求出P点的坐标，不存在说明理由；

（3）若D为原点关于A点的对称点，F点坐标为（0，1.5），将△CEF绕点C旋转，在旋转过程中，线段DE与BF是否存在某种关系（数量、位置）？请指出并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣x+2；（2）存在，P（3，﹣10）；（3）DE⊥BF且DE＝2BF，证明见解析

【解析】

（1）根据题意得出抛物线的对称轴为x＝＝，又与x轴的交点为A、B（A在B的左边）且AB＝3，求出A、B点的坐标，把A、E坐标代入可得a、c的值，继而求得抛物线的解析式；

（2）因为S△ABC＝3，△PBC的面积是3，说明点P一定在过A平行于BC的直线线，且一定是与抛物线的交点，因此求出过A点平行于BC的直线，与抛物线联立进一步求得答案；

（3）连接DC、BC，证明△CDE∽△CBF，利用相似三角形的性质和旋转的性质即可解决问题．

解：（1）因为抛物线（a≠0）的对称轴是x＝＝，AB＝3，

所以A、B两点的坐标为（﹣2，0）、（1，0），

又因为E（﹣1，2）在抛物线上，

把点A（﹣2，0）、E（﹣1，2）代入

解得a＝﹣1，c＝2，

所以；

（2）如图（2）所示，过A作BC的平行线交抛物线于点P（篇幅有限，P点未能显示在图中），

令x＝0，则y＝2

故点C坐标是（0，2）,

∵设直线BC的解析式为：y＝kx+b，

B点坐标为：（1，0），C点坐标为；（0，2），

∴，

∴y＝﹣2x+2，

∵A作BC的平行线交抛物线于点P，

∴y＝﹣2x+b，将A（﹣2，0）代入解析式即可得出，

所以过A点的直线为y＝﹣2x﹣4，

∴两函数的交点坐标为：

由﹣x2﹣x+2＝﹣2x﹣4，

解得x1＝﹣2（舍去），x2＝3，

所以与抛物线的交点P为（3，﹣10）；

（3）如图（3）所示，连接DC、BC，

由题意可知：点D（﹣4，0），F（0，1.5），

∴DC＝＝，

BC＝，

CE＝，

CF＝，

EF＝

得，

又∵夹角∠DCE＝∠BCF，

∴△CDE∽△CBF，而∠ECF＝90°，

∴，CE⊥CF，

∴DE⊥BF且DE＝2BF．