Question

【题目】如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．

（1）判断DE与DP的位置关系，并说明理由；

（2）若AC＝6，BC＝8，PA＝2，求线段DE的长．

Answer 1

【答案】（1）DE⊥DP，理由见解析；（2）DE＝4.75

【解析】

（1）根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠PDA，根据线段垂直平分线的性质得到EB＝ED，于是得到结论；

（2）连接PE，设DE＝x，则EB＝ED＝x，CE＝8﹣x，根据勾股定理即可得到结论．

解：（1）DE⊥DP，

理由如下：∵PD＝PA，

∴∠A＝∠PDA，

∵EF是BD的垂直平分线，

∴EB＝ED，

∴∠B＝∠EDB，

∵∠C＝90°，

∴∠A+∠B＝90°，

∴∠PDA+∠EDB＝90°，

∴∠PDE＝180°﹣90°＝90°，

∴DE⊥DP；

（2）连接PE，设DE＝x，则EB＝ED＝x，CE＝8﹣x，

∵∠C＝∠PDE＝90°，

∴PC2+CE2＝PE2＝PD2+DE2，

∴42+（8﹣x）2＝22+x2，

解得：x＝4.75，

则DE＝4.75．