Question

2．如图1，边长为a的正方形发生形变后成为边长为a的菱形，如果这个菱形的一组对边之间的距离为h，我们把$\frac{a}{h}$的值叫做这个菱形的“形变度”．例如，当形变后的菱形是如图2形状（被对角线BD分成2个等边三角形），则这个菱形的“形变度”为2：$\sqrt{3}$．如图3，正方形由16个边长为1的小正方形组成，形变后成为菱形，△AEF（A、E、F是格点）同时形变为△A′E′F′，若这个菱形的“形变度”k=$\frac{8}{7}$，则S_{△A′E′F′}=$\frac{7}{2}$．

Answer 1

分析 求出形变前正方形的面积，形变后菱形的面积，两面积之比=菱形的“形变度”，求△AEF的面积，根据两面积之比=菱形的“形变度”，即可解答．

解答 解：如图，

在图2中，形变前正方形的面积为：a²，形变后的菱形的面积为：$a•\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{2}{a}^{2}$，
∴菱形形变前的面积与形变后的面积之比：${a}^{2}：\frac{\sqrt{3}}{2}{a}^{2}=2：\sqrt{3}$，
∵这个菱形的“形变度”为2：$\sqrt{3}$．
∴菱形形变前的面积与形变后的面积之比=这个菱形的“形变度”，
${S}_{△AEF}=\frac{1}{2}×2×2+\frac{1}{2}×2×2=4$，
∵若这个菱形的“形变度”k=$\frac{8}{7}$，
∴$\frac{{S}_{△AEF}}{{S}_{△{A}^{′}{E}^{′}{F}^{′}}}=\frac{8}{7}$，
即$\frac{4}{{S}_{△{A}^{′}{E}^{′}{F}^{′}}}=\frac{8}{7}$，
∴${S}_{△{A}^{′}{E}^{′}{F}^{′}}$=$\frac{7}{2}$．
故答案为：$\frac{7}{2}$．

点评 本题考查了正方形的性质，菱形的性质以及四边形综合，根据题意得出菱形形变前的面积与形变后的面积之比是解题关键．