Question

如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的面积为15，边OA比OC大2．E为BC的中点，以OE为直径的⊙O′交轴于D点，过点D作DF⊥AE于点F。

（1）求OA、OC的长；
（2）求证：DF为⊙O′的切线；
（3）小明在解答本题时，发现△AOE是等腰三角形。由此，他断定：“直线BC上一定存在除点E以外的点P，使△AOP也是等腰三角形，且点P一定在⊙O′外”。你同意他的看法吗？请充分说明理由。

Answer 1

（1）OC=3，  OA=5
（2）证明略
（3）略解析:
（1）在矩形OABC中，设OC="x " 则OA= x+2，依题意得
         解得：
（不合题意，舍去）    ∴OC=3，  OA="5" ……………3分
（2）连结O′D，在矩形OABC中，OC=AB，∠OCB=∠ABC=90，CE=BE=
∴ △OCE≌△ABE  ∴EA="EO   " ∴∠EOA=∠EAO
在⊙O′中， ∵ O′O= O′D     ∴∠EOA=∠O′DO
∴∠O′DO =∠EAO     ∴O′D∥AE，    
∵DF⊥AE    ∴ DF⊥O′D
又∵点D在⊙O′上，O′D为⊙O′的半径 ，∴DF为⊙O′切线．……………6分
不同意. 理由如下:
①当AO=AP时，
以点A为圆心，以AO为半径画弧交BC于P1和P4两点
过P1点作P1H⊥OA于点H，P1H =" OC" = 3，∵A P1=" OA" = 5
∴A H = 4， ∴OH ="1        "
求得点P1（1，3）   同理可得：P4（9，3）…………8分
②当OA=OP时，同上可求得:：P2（4，3），P3（4，3）
因此，在直线BC上，除了E点外，既存在⊙O′内的点P1，又存在⊙O′外的点P2、P3、P4，它们分别使△AOP为等腰三角形．……………10分