Question

如图，在正方形ABCD中，两条对角线AC，BD交于点O．
（1）求∠AOB，∠OAB的度数；
（2）若正方形的边长为1，求AC的长度；
（3）图中共有多少个等腰直角三角形？

Answer 1

分析：（1）先根据正方形的对角线互相垂直得出∠AOB的度数，再由正方形的四个角都是直角并且每条对角线平分一组对角，可得出∠OAB的度数；
（2）根据勾股定理即可求出；
（3）根据正方形的四条边都相等，四个角都是直角及正方形的两条对角线相等且互相垂直平分，可得出△ABC、△ADC、△ABD、△CBD、△AOB、△BOC、△COD、△DOA都是等腰直角三角形．

解答：解：（1）∵正方形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，
∴∠AOB=90°．
∵正方形ABCD的内角都是直角，
∴∠BAD=90°，
∵对角线AC平分∠BAD，
∴∠OAB=45°；

（2）∵正方形ABCD的四条边都相等，
∴BC=AB=1． 
在Rt△ABC中，AC=

AB2+BC2

=

12+12

=

2

；

（3）根据正方形的性质，可知图中共有8个等腰直角三角形．

点评：本题考查了正方形的性质及勾股定理，属于基础知识，比较简单．