Question

10．如图，正方形的边长为2（$\sqrt{2}$+1），剪去4个角后成为一个正八边形（图中阴影部分），求这个正八边形的边长和面积．

Answer 1

分析 设剪去三角形的直角边长x，根据勾股定理可得，三角形的斜边长为$\sqrt{2}$x，即正八边形的边长为$\sqrt{2}$x，依题意得$\sqrt{2}$x+2x=2（$\sqrt{2}$+1），解方程即可求出正八边形的边．用正方形的面积减去4个等腰直角三角形的面积即可求得正八边形的面积．

解答 解：设剪去三角形的直角边长x，根据勾股定理可得，三角形的斜边长为$\sqrt{2}$x，即正八边形的边长为$\sqrt{2}$x，
∴$\sqrt{2}$x+2x=2（$\sqrt{2}$+1），
∴x=$\sqrt{2}$，
∴正八边形的边长等于$\sqrt{2}$x=2，
∴正八边形的面积=（2$\sqrt{2}$+2）²-4×$\frac{1}{2}$×（$\sqrt{2}$）²=8+8$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了二次根式的运用，正方形和正八边形的性质以及勾股定理的运用，解题的关键是设出未知数用列方程的方法解决几何问题．