Question

3．如图，点E，F分别是矩形ABCD的边BC和CD上的点，其中AB=3$\sqrt{2}$，BC=3$\sqrt{6}$，把△ABE沿AE进行折叠，使点B落在对角线AC上，在把△ADF沿AF折叠，使点D落在对角线AC上，点P为直线AF上任意一点，则PE的最小值为2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根据矩形的性质得到∠B=∠BAD=90°，根据三角函数的定义得到∠BAC=60°，根据折叠的性质得到∠BAE=∠CAE=30°，∠DAF=∠CAF，求得∠EAP=∠EAC+∠FAC=$\frac{1}{2}∠$BAD=45°，过E作EP⊥AF于P，此时，PE的值最小，解直角三角形得到AE=2$\sqrt{6}$，于是得到结论．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠BAD=90°，
∵AB=3$\sqrt{2}$，BC=3$\sqrt{6}$，
∴tan∠BAC=$\frac{BC}{AB}$=$\sqrt{3}$，
∴∠BAC=60°，
∵把△ABE沿AE进行折叠，使点B落在对角线AC上，在把△ADF沿AF折叠，使点D落在对角线AC上，
∴∠BAE=∠CAE=30°，∠DAF=∠CAF，
∴∠EAP=∠EAC+∠FAC=$\frac{1}{2}∠$BAD=45°，
过E作EP⊥AF于P，
此时，PE的值最小，
∵AB=3$\sqrt{2}$，∠B=90°，∠BAE=30°，
∴AE=2$\sqrt{6}$，
∵∠APE=90°，∠EAP=45°，
∴PE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AE=2$\sqrt{3}$．
∴PE的最小值为2$\sqrt{3}$，
故答案为：2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了翻折变换-折叠问题，矩形的性质，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．