Question

如图，二次函数y=ax²-5ax+4a（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，点C关于抛物线对称轴的对称点为D，连接BD．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）若AD⊥BC，垂足为P，求二次函数的表达式；
（3）在（2）的条件下，若直线x=m把△ABD的面积分为1：2的两部分，求m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）A、B两点为x轴上的点，故其总坐标为0，令y=0解方程即可；
（2）根据图形特点，可以利用相似三角形的性质和直角三角形的性质求出C点坐标，再代入解析式取出a的值；
（3）根据题意可确定，直线x=m与x轴交点在线段AB上，S_△AMN=S_△ABD和S_△AMN=S_△ABD两种情况利用三角形面积公式解答．
解答：解：（1）∵抛物线与x轴交于A、B两点
∴ax²-5ax+4a=0（1分）
∵a≠0
∴x²-5x+4=0，
解得x₁=1，x₂=4（3分）
∴A（1，0），B（4，0）．（4分）

（2）（方法一）连接AC、CD，由对称性知：四边形ABDC是等腰梯形，
∴∠CAB=∠DBA
在△ABC与△BAD中，
AC=BD，∠CAB=∠DBA，AB=BA
∴△ABC≌△BAD
∴∠1=∠2（6分）
∵AD⊥BC
∴∠1=∠2=45°
∵∠BOC=90°
∴∠OCB=∠1=45°
∴OC=OB=4
∴C（0，4）（8分）
把C（0，4）的坐标代入y=ax²-5ax+4a
得4a=4
∴a=1
∴二次函数的表达式为y=x²-5x+4．（10分）
（方法二）∵A、C两点关于抛物线对称轴的对称点分别为B、D，
∴AD、BC的交点P在抛物线对称轴上，
∴PA=PB（6分）
∵AD⊥BC
∴∠1=∠2=45°
∵∠BOC=90°
∴∠OCB=∠1=45°
∴OC=OB=4
∴C（0，4）（8分）
把C（0，4）的坐标代入y=ax²-5ax+4a
得4a=4
∴a=1
∴二次函数的表达式为y=x²-5x+4．（10分）

（3）（方法一）S_△ABD=×3×4=6，
设直线x=m与AD、AB分别交于M、N，则AN=m-1，
由（2）得∠1=45°，∠2=90°，
∴MN=AN=m-1，
∴S_△AMN=（m-1）²（11分）
当S_△AMN=S_△ABD时，（m-1）²=×6；
解得m=3（负值舍去）（12分）
当S_△AMN=S_△ABD时，（m-1）²=×6；
解得m=+1（负值舍去）．（13分）
过B作BE⊥AB交AD于E，则S_△ABE=4.5，
S_△ABD=4，
∵4.5＞4，
∴点N在线段AB上
∴m＜4，
综上所述，m的值为3或+1．（14分）
（方法二）S_△ABD=×3×4=6，
设直线x=m与AD、AB分别交于M、N，
由（2）得∠1=45°，∠2=90°，
∴MN=AN，
∴S_△AMN=AN•MN=AN²（11分）
当S_△AMN=S_△ABD时，AN²=2，解得AN=2．
∴ON=3即m=3．（12分）
当S_△AMN=S_△ABD时，AN²=4，
解得AN=，
∴ON=+1即m=+1，（13分）
过B作BE⊥AB交AD于E，则S_△ABE=4.5，
S_△ABD=4，
∵4.5＞4
∴点N在线段AB上
∴m＜4
综上所述，m的值为3或+1．（14分）
点评：此题将二次函数与三角形与等腰梯形相结合，充分体现了数形结合思想解决数学问题时的作用，解答此题的关键是充分利用解析式每一项都含a的特点及特殊三角形和等腰梯形的性质．