A. | 4个 | B. | 3个 | C. | 2个 | D. | 1个 |
分析 ①利用线段垂直平分线的性质的逆定理可得结论;
②在△EOB和△CMB中,对应直角边不相等,则两三角形不全等;
③可证明∠CDE=∠DFE;
④可通过面积转化进行解答.
解答 解:①∵矩形ABCD中,O为AC中点,
∴OB=OC,
∵∠COB=60°,
∴△OBC是等边三角形,
∴OB=BC,
∵FO=FC,
∴FB垂直平分OC,
故①正确;
②∵△BOC为等边三角形,FO=FC,
∴BO⊥EF,BF⊥OC,
∴∠CMB=∠EOB=90°,
∴BO≠BM,
∴△EOB与△CMB不全等;
故②错误;
③易知△ADE≌△CBF,∠1=∠2=∠3=30°,
∴∠ADE=∠CBF=30°,∠BEO=60°,
∴∠CDE=60°,∠DFE=∠BEO=60°,
∴∠CDE=∠DFE,
∴DE=EF,
故③正确;
④易知△AOE≌△COF,
∴S△AOE=S△COF,
∵S△COF=2S△CMF,
∴S△AOE:S△BCM=2S△CMF:S△BCM=$\frac{2FM}{BM}$,
∵∠FCO=30°,
∴FM=$\frac{CM}{\sqrt{3}}$,BM=$\sqrt{3}$CM,
∴$\frac{FM}{BM}$=$\frac{1}{3}$,
∴S△AOE:S△BCM=2:3,
故④正确;
所以其中正确结论的个数为3个;
故选B
点评 本题综合性比较强,既考查了矩形的性质、等腰三角形的性质,又考查了全等三角形的性质和判定,及线段垂直平分线的性质,内容虽多,但不复杂;看似一个选择题,其实相当于四个证明题,属于常考题型.
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