Question

9．（1）如图1．
①若已知∠AOB=90°，∠DOB=30°，射线OC平分∠DOB，射线OE平分∠AOD．求∠EOC的度数；
②若已知∠AOB=β，∠DOB=α，射线OC平分∠DOB，射线OE平分∠AOD，求∠EOC的度数；
（2）如图2，已知∠AOD=120°，射线OP以每秒15°的速度，从射线OD开始逆时针向射线OA旋转，到达射线OA之后又以同样的角速度顺时针返回，直到到达射线OD停止，射线OQ从射线OA开始，以每秒5°的速度顺时针向射线OD旋转，直到到达各自的目的地才停止，请问当过了几秒时，∠POQ=$\frac{1}{2}$∠AOQ？

Answer 1

分析 （1）①由图和题意知∠EOC=$\frac{1}{2}$∠AOD-$\frac{1}{2}$∠BOD，代入计算即可．
②由图和题意知∠EOC=$\frac{1}{2}$（∠AOB+∠BOD）-$\frac{1}{2}$∠BOD，代入计算即可．
（2）由题意知，有两种情况，①当OQ在OP左侧，②当OQ在OP右侧时，列出关于多少秒，∠POQ=$\frac{1}{2}$∠AOQ的方程，解方程即可．

解答 解：（1）①∵∠AOB=90°，∠DOB=30°，
∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=120°，
∵射线OC平分∠DOB，射线OE平分∠AOD，
∴∠EOD=$\frac{1}{2}∠$AOD=60°，∠COD=$\frac{1}{2}$∠DOB=15°，
∴∠EOC=∠EOD-∠COD=45°；
②∵∠AOB=β，∠DOB=α，
∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=β+α，
∵射线OC平分∠DOB，射线OE平分∠AOD，
∴∠EOD=$\frac{1}{2}∠$AOD=$\frac{1}{2}$（α+β），∠COD=$\frac{1}{2}$∠DOB=$\frac{1}{2}$α，
∴∠EOC=∠EOD-∠COD=$\frac{1}{2}$β；
（2）分为两种情况：
情况①当OQ在OP左侧，t秒后∠POQ=$\frac{1}{2}$∠AOQ，
此时120-（5t+15t）=$\frac{1}{2}$×5t
解得t=$\frac{48}{9}$；
情况②当OQ在OP右侧时，m秒后∠POQ=$\frac{1}{2}$∠AOQ，
此时5m-[（m-$\frac{120}{15}$）×15]=$\frac{5m}{2}$
解得：m=$\frac{48}{5}$
答：当过了$\frac{48}{9}$秒和$\frac{48}{5}$秒时，∠POQ=$\frac{1}{2}$∠AOQ．

点评 本题考查了角平分线的性质、角的和差关系及列方程解实际问题．解决本题的关键是看懂图，分好类，列出关于时间的方程．