Question

【题目】如图，已知AC∥DF，点B在AC上，点E在DF上，连结AE，BD相交于点P，连结CE，BF相交于点Q，若AB＝EF，BC＝DE．

（1）求证：四边形BPEQ为平行四边形；

（2）若DP＝2BP，BF＝3，CE＝6．求证：四边形BPEQ为菱形．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析

【解析】

（1）证出四边形ABFE和四边形BCED是平行四边形，得出AE=BF，AE∥BF，BD∥CE，即可得出结论；

（2）由平行四边形的性质得出AE=BF=3，BD=CE=6，求出QE=BP=BD=2，证得△APB∽△EPD，求出EP=AE=2，得出BP=EP，即可得出结论．

（1）∵AC∥DF，AB=EF，BC=DE，

∴四边形ABFE和四边形BCED都是平行四边形，

∴AE∥BF，BD∥CE，

∴四边形BPEQ为平行四边形；

（2）由（1）得：四边形ABFE、四边形BCED和四边形BPEQ为平行四边形，

∴AE=BF=3，BD=CE=6，

∵DP=2BP，

∴QE=BP=BD=2，

∵AC∥DF，

∴△APB∽△EPD，

∴==，

∴EP=AE=2，

∴BP=EP，

∴四边形BPEQ为菱形．