Question

5．解下列不等式
（1）$\frac{x+2}{x-4}$≤0
（2）（2x-1）²+（x-1）²≥x
（3）x²-（a+1）x+a≤0．

Answer 1

分析 （1）分两种情况：①分子＜0，分母＞0；②分子＞0，分母＜0；进行讨论即可求解；
（2）先因式分解，再根据一元二次不等式的解法求解即可；
（3）先因式分解，再根据一元二次不等式的解法求解即可．

解答 解：（1）$\frac{x+2}{x-4}$≤0，
①分子≤0，分母＞0，则$\left\{\begin{array}{l}{x+2≤0}\\{x-4＞0}\end{array}\right.$，无解；
②分子≥0，分母＜0，则$\left\{\begin{array}{l}{x+2≥0}\\{x-4＜0}\end{array}\right.$，解得-2≤x＜4．
故$\frac{x+2}{x-4}$≤0的解集为-2≤x＜4；
（2）（2x-1）²+（x-1）²≥x，
4x²-4x+1+x²-2x+1≥x，
5x²-7x+2≥0，
（5x-2）（x-1）≥0，
故（2x-1）²+（x-1）²≥x的解集为x≤$\frac{2}{5}$或x≥1；
（3）x²-（a+1）x+a≤0，
（x-1）（x-a）≤0，
故x²-（a+1）x+a≤0的解集为1≤x≤a（a≥1），a≤x≤1（a≤1）．

点评 此题考查了一元二次不等式，解一元二次不等式，可将一元二次不等式不等式转化成二次函数的形式，求出函数与X轴的交点，将一元二次不等式，二次函数，一元二次方程联系起来，并利用图象法进行解题，使得问题简化．