如图(1).由线段AB.AM.CM.CD组成的图形像英文字母 M.称为“M形BAMCD ．.M形BAMCD中.若AB∥CD.∠A+∠C=50°.则∠M=50°,.连接M形BAMCD中B.D两点.若∠B+∠D=150°.∠AMC=α.试探求∠A与∠C 的数量关系.并说明理由,的条件下.且AC的延长线与BD的延长线有交点.当点M在线段BD的延长线上从左向右移动的过程中.直接写� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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3．如图（1），由线段AB、AM、CM、CD组成的图形像英文字母 M，称为“M形BAMCD”．
（1）如图（1），M形BAMCD中，若AB∥CD，∠A+∠C=50°，则∠M=50°；
（2）如图（2），连接M形BAMCD中B、D两点，若∠B+∠D=150°，∠AMC=α，试探求∠A与∠C 的数量关系，并说明理由；
（3）如图（3），在（2）的条件下，且AC的延长线与BD的延长线有交点，当点M在线段BD的延长线上从左向右移动的过程中，直接写出∠A与∠C所有可能的数量关系．

分析（1）过M作MN∥AB，由平行线的性质即可求得∠M的值．
（2）延长BA，DC交于E，应用四边形的内角和定理与平角的定义即可解决问题．
（3）延长BA、DC使之相交于点E，延长MC与BA的延长线相交于点F，利用三角形的内外角之间的关系即可求解．

解答解：（1）过M作MN∥AB，

∵AB∥CD，
∴AB∥MN∥CD，
∴∠1=∠A，∠2=∠C，
∴∠AMC=∠1+∠2=∠A+∠C=50°；
故答案为：50°；
（2）∠A+∠C=30°+α，
延长BA，DC交于E，

∵∠B+∠D=150°，
∴∠E=30°，
∵∠BAM+∠DCM=360°-（∠EAM+∠ECM）=360°-（360°-∠E-∠M）=30°+α；
即∠A+∠C=30°+α；
（3）如下图所示：

延长BA、DC使之相交于点E，延长MC与BA的延长线相交于点F，
∵∠B+∠D=150°，∠AMC=α，∴∠E=30°
由三角形的内外角之间的关系得：
∠1=30°+∠2
∠2=∠3+α
∴∠1=30°+∠3+α
∴∠1-∠3=30°+α
即：∠A-∠C=30°+α

点评本题考查了平行线的性质．解答该题时，通过作辅助线准确作出辅助线l∥AB，利用平行线的性质（两直线平行内错角相等）将所求的角∠M与已知角∠A、∠C的数量关系联系起来，从而求得∠M的度数．

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