Question

【题目】如图，以扇形的顶点为原点，半径所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，点的坐标为，．现从中随机选取一个数记为，则的值既使得抛物线与扇形的边界有公共点，又使得关于的方程的解是正数的概率是________．

Answer 1

【答案】

【解析】

根据题意可以求得点A的坐标，由关于x的方程的解是正数可以求得a的取值范围，抛物线y＝与扇形AOB的边界有公共点，可以求得相应的a的取值范围，从而可以得到满足a的值既使得抛物线y＝与扇形AOB的边界有公共点，又使得关于x的方程的解是正数的a的取值范围，从而可以得到符合要求的a的值，进而求得概率是多少.

由已知可得，OB＝2,OA＝2，∠AOB＝45°，则点A的横坐标：OAcos45°＝2×＝，纵坐标为：OAsin45°＝2×＝，即点A的坐标为：（，），∵，解得：x＝，∴方程的解是正解时，＞0，得a＞－1，又∵抛物线y＝与扇形AOB的边界有公共点，∴解得－2≤a≤－1，∴a的值既使得抛物线与扇形的边界有公共点，又使得关于的方程的解是正数时满足的条件是：－1＜a＜－1，∴从－2，－，－1，－，0，中随机选取一个数记为a，则a的值既使得抛物线与扇形的边界有公共点，又使得关于的方程的解是正数的概率是：，故答案为.