Question

如图，ABCD为平行四边形，AD=a，BE∥AC，DE交AC的延长线于F点，交BE于E点．

（1）求证：DF=FE；

（2）若AC=2CF，，AC⊥DC，求BE的长；

（3）在（2）的条件下，求四边形ABED的面积．

Answer 1

(1)证明：延长DC交BE于点M，∵BE∥AC，AB∥DC,∴四边形ABMC是平行四边形，

∴CM=AB=DC,C为DM的中点，BE∥AC，DF=FE;

（2）解：由（2）得CF是△DME的中位线，

故ME=2CF,又∵AC=2CF，四边形ABMC是平行四边形，

∴BE=2BM=2ME=2AC, 又∵AC⊥DC,

∴在Rt△ADC中利用勾股定理得AC=, ∴=.

(3)可将四边形ABED的面积分为两部分，梯形ABMD和三角形DME,

在Rt△ADC中利用勾股定理得DC=,

由CF是△DME的中位线得CM=DC=,

四边形ABMC是平行四边形得AM=MC=,BM=AC=,

∴梯形ABMD面积为：;

由AC⊥DC和BE∥AC可证得三角形DME是直角三角形，

其面积为：,∴四边形ABED的面积为+