Question

19．如图，在Rt△ABO中，∠AOB=90°，点A在第一象限，点B在第二象限，且$\frac{AO}{BO}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$．若点A在y=$\frac{1}{x}$的图象上，则经过点B的反比例函数的解析式是y=-$\frac{5}{x}$．

Answer 1

分析 过A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥x轴于点D，可证明△AOC∽△OBD，由点A在y=$\frac{1}{x}$上，可求得△AOC的面积，由相似三角形的性质可求得△BOD的面积，可求得答案．

解答 解：如图，过A作AC⊥x轴，过B作BD⊥x轴，垂足分别为C、D，

∵∠AOB=90°，
∴∠BOD+∠AOC=∠DBO+∠BOD，
∴∠DBO=∠AOC，
∴△AOC∽△OBD，
∴$\frac{{S}_{△AOC}}{{S}_{△OBD}}$=（$\frac{AO}{BO}$）²=（$\frac{1}{\sqrt{5}}$）²=$\frac{1}{5}$，
设A点坐标为（x_A，y_A），
∵点A在函数y=$\frac{1}{x}$的图象上，
∴x_Ay_A=1，
∴S_△AOC=$\frac{1}{2}$x_Ay_A=$\frac{1}{2}$，
∴S_△OBD=5S_△AOC=$\frac{5}{2}$，
设B点坐标为（x_B，y_B），
∴$\frac{1}{2}$x_By_B=$\frac{5}{2}$，
∴x_By_B=5，
∴过B点的反比例函数的解析式为y=-$\frac{5}{x}$，
故答案为：-$\frac{5}{x}$．

点评 本题主要考查相似三角形的判定和性质，根据条件求得△OBD的面积是解题的关键，注意反比例函数解析式的三种形式的灵活运用，即xy=k，yx^-1=1，y=$\frac{k}{x}$．