Question

5．解方程x⁴-5x²+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x²=y，那么x⁴=y²，于是原方程可变为y²-5y+4=0  ①，
解得y₁=1，y₂=4．
当y=1时，x²=1，∴x=±1；
当y=4时，x²=4，∴x=±2；
∴原方程有四个根：x₁=1，x₂=-1，x₃=2，x₄=-2．
（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想．
（2）解方程（x²+x）²-4（x²+x）-12=0．
（3）解方程   x²-3|x|=18．

Answer 1

分析 （1）本题主要是利用换元法降次来达到把一元四次方程转化为一元二次方程，来求解，然后再解这个一元二次方程．
（2）利用题中给出的方法先把x²+x当成一个整体y来计算，求出y的值，再解一元二次方程．
（3）设|x|=y，原方程可化为y²-3y-18=0，求出y的值，再解绝对值方程．

解答 解：（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用 换元法达到 降次的目的，体现了数学的转化思想．
故答案是：换元  降次；

（2）设x²+x=y，原方程可化为y²-4y-12=0，
解得y₁=6，y₂=-2．
由x²+x=6，得x₁=-3，x₂=2．
由x²+x=-2，得方程x²+x+2=0，
b²-4ac=1-4×2=-7＜0，此时方程无解．
所以原方程的解为x₁=-3，x₂=2．

（3）原方程可化为|x|²-3|x|-18=0，
设|x|=y，原方程可化为y²-3y-18=0，
解得y₁=6，y₂=-3．
由|x|=6，得x₁=-6，x₂=6．
由|x|=-3，此时方程无解．
所以原方程的解为x₁=-6，x₂=6．

点评 本题应用了换元法，把关于x的方程转化为关于y的方程，这样书写简便且形象直观，并且把方程化繁为简化难为易，解起来更方便．