Question

【题目】探究：如图1和图2，四边形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝90°，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF＝45°．

（1）①如图1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，直接写出线段BE、DF和EF之间的数量关系　 　；

②如图2，若∠B、∠D都不是直角，但满足∠B+∠D＝180°，线段BE、DF和EF之间的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．

（2）拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2．点D、E均在边BC边上，且∠DAE＝45°，若BD＝1，求DE的长．

Answer 1

【答案】（1）①EF＝BE+DF；②成立，理由详见解析；（2）DE＝．

【解析】

（1）①根据旋转的性质得出AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，求出∠EAF＝∠GAF＝45°，根据SAS推出△EAF≌△GAF，根据全等三角形的性质得出EF＝GF，即可求出答案；

②根据旋转的性质作辅助线，得出AE＝AG，∠B＝∠ADG，∠BAE＝∠DAG，求出C、D、G在一条直线上，根据SAS推出△EAF≌△GAF，根据全等三角形的性质得出EF＝GF，即可求出答案；

（2）如图3，同理作旋转三角形，根据等腰直角三角形性质和勾股定理求出∠ABC＝∠C＝45°，BC＝4，根据旋转的性质得出AF＝AE，∠FBA＝∠C＝45°，∠BAF＝∠CAE，求出∠FAD＝∠DAE＝45°，证△FAD≌△EAD，根据全等得出DF＝DE，设DE＝x，则DF＝x，BF＝CE＝3﹣x，根据勾股定理得出方程，求出x即可．

解：（1）∵把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，

∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，∠B＝∠ADG＝90°，

∵∠ADC＝90°，

∴∠ADC+∠ADG＝90°

∴F、D、G共线，

∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，

∴∠BAE+∠DAF＝45°，

∴∠DAG+∠DAF＝45°，

即∠EAF＝∠GAF＝45°，

在△EAF和△GAF中，

∵，

∴△EAF≌△GAF（SAS），

∴EF＝GF，

∵BE＝DG，

∴EF＝GF＝DF+DG＝BE+DF，

故答案为：EF＝BE+DF；

②成立，

理由：如图2，把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，

则AE＝AG，∠B＝∠ADG，∠BAE＝∠DAG，

∵∠B+∠ADC＝180°，

∴∠ADC+∠ADG＝180°，

∴C、D、G在一条直线上，

与①同理得，∠EAF＝∠GAF＝45°，

在△EAF和△GAF中，

∵，

∴△EAF≌△GAF（SAS），

∴EF＝GF，

∵BE＝DG，

∴EF＝GF＝BE+DF；

（2）解：∵△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，

∴∠ABC＝∠C＝45°，

由勾股定理得：BC＝＝4，

如图3，把△AEC绕A点旋转到△AFB，使AB和AC重合，连接DF，

则AF＝AE，∠FBA＝∠C＝45°，∠BAF＝∠CAE，

∵∠DAE＝45°，

∴∠FAD＝∠FAB+∠BAD＝∠CAE+∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝90°﹣45°＝45°，

∴∠FAD＝∠DAE＝45°，

在△FAD和△EAD中，

∴△FAD≌△EAD（SAS），

∴DF＝DE，

设DE＝x，则DF＝x，

∵BC＝4，

∴BF＝CE＝4﹣1﹣x＝3﹣x，

∵∠FBA＝45°，∠ABC＝45°，

∴∠FBD＝90°，

由勾股定理得：DF2＝BF2+BD2，

x2＝（3﹣x）2+12，

解得：x＝，

即DE＝．