Question

20．已知△ABC是⊙O的内接三角形，AB为直径，AC=12，BC=5，CD平分∠ACB角⊙O于D，I为△ABC的内心，则DI的长度为（　　）

• A． $\frac{13}{2}$
• B． $\frac{13\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{13\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{15}{2}$

Answer 1

分析 如图，连接AD、BD，AI．先求出AD，再证明DI=DA即可解决问题．

解答 解：如图，连接AD、BD，AI．

∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵AC=2，BC=5，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}+1{2}^{2}}$=13，
∵∠ACD=∠DCB，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$，
∴AD=BD=$\frac{13\sqrt{2}}{2}$，∠ADB=90°，
∴∠DAB=∠ACD=45°
∵I是内心，
∴∠IAC=∠IAB，
∵∠AID=∠ACD+∠CAI=45°+∠CAI，∠IAD=∠IAB+∠DAB=∠IAB+45°，
∴∠DAI=∠DIA，
∴ID=AD=$\frac{13\sqrt{2}}{2}$，
故选B．

点评 本题考查三角形的外接圆与外心，三角形的内切圆与内心，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，判断DI=DA是突破点，属于中考常考题型．