Question

（2012•朝阳区一模）如图，在正方形ABCD中，AB=1，E、F分别是BC、CD边上的点，
（1）若CE=

1

2

CB，CF=

1

2

CD，则图中阴影部分的面积是

2

3

；
（2）若CE=

1

n

CB，CF=

1

n

CD，则图中阴影部分的面积是

n

n+1

（用含n的式子表示，n是正整数）．

Answer 1

分析：（1）首先设BF与DE交于点M，过点M作MN⊥CD于N，由四边形ABCD是正方形，易证得△DMN∽△DEC，△FMN∽△FBC，由相似三角形的对应边成比例可得

DN

DC

=

MN

EC

，

MN

BC

=

FN

FC

，又由CE=

1

2

CB，CF=

1

2

CD，设MN=x，FN=y，即可得

1 2 +y

x

=2，

x

y

=2，继而求得MN的长，则可求得△BCF和△DMF的面积，继而求得图中阴影部分的面积；
（2）首先设BF与DE交于点M，过点M作MN⊥CD于N，由四边形ABCD是正方形，易证得△DMN∽△DEC，△FMN∽△FBC，由相似三角形的对应边成比例可得

DN

DC

=

MN

EC

，

MN

BC

=

FN

FC

，又由CE=

1

n

CB，CF=

1

n

CD，设MN=x，FN=y，即可得

1- 1 n +y

x

=n，

x

y

=n，继而求得MN的长，则可求得△BCF和△DMF的面积，继而求得图中阴影部分的面积．

解答：解：（1）设BF与DE交于点M，过点M作MN⊥CD于N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C=90°，AD∥BC，BC=CD=AB=1，
∴AD∥MN∥BC，
∴△DMN∽△DEC，△FMN∽△FBC，
∴

DN

DC

=

MN

EC

，

MN

BC

=

FN

FC

，
∵CE=

1

2

CB=

1

2

，CF=

1

2

CD=

1

2

，
∴CE=

1

2

CD，CF=

1

2

BC，
∴

DN

MN

=

DC

EC

=2，

MN

FN

=

BC

FC

=2，
设MN=x，FN=y，
∴

1 2 +y

x

=2，

x

y

=2，
解得：x=

1

3

，
∴MN=

1

3

，
∴S_△BCF=

1

2

BC•CF=

1

2

×1×

1

2

=

1

4

，S_△DFM=

1

2

DF•MN=

1

2

×

1

2

×

1

3

=

1

12

，S_{正方形ABCD}=1，
∴S_阴影=1-

1

4

-

1

12

=

2

3

；

（2）设BF与DE交于点M，过点M作MN⊥CD于N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C=90°，AD∥BC，BC=CD=AB=1，
∴AD∥MN∥BC，
∴△DMN∽△DEC，△FMN∽△FBC，
∴

DN

DC

=

MN

EC

，

MN

BC

=

FN

FC

，
∵CE=

1

n

CB=

1

n

，CF=

1

n

CD=

1

n

，
∴CE=

1

n

CD，CF=

1

n

BC，
∴

DN

MN

=

DC

EC

=n，

MN

FN

=

BC

FC

=n，
设MN=x，FN=y，
∴

1- 1 n +y

x

=n，

x

y

=n，
解得：x=

1

n+1

，
∴MN=

1

n+1

，
∴S_△BCF=

1

2

BC•CF=

1

2

×1×

1

n

=

1

2n

，S_△DFM=

1

2

DF•MN=

1

2

×（1-

1

n

）×

1

n+1

=

n-1

2n(n+1)

，S_{正方形ABCD}=1，
∴S_阴影=1-

1

2n

-

n-1

2n(n+1)

=

n

n+1

．
故答案为：

2

3

，

n

n+1

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形面积问题．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法是解此题的关键，注意数形结合思想与方程思想的应用．