Question

在平面直角坐标系中，如图1，将n个边长为1的正方形并排组成矩形OABC，相邻两边OA和OC分别落在x轴和y轴的正半轴上，设抛物线y=ax²+bx+c（a＜0）过矩形顶点B、C．
（1）当n=1时，如果a=-1，试求b的值；
（2）当n=2时，如图2，在矩形OABC上方作一边长为1的正方形EFMN，使EF在线段CB上，如果M，N两点也在抛物线上，求出此时抛物线的解析式；
（3）将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使得点B落到x轴的正半轴上，如果该抛物线同时经过原点O．
①试求当n=3时a的值；
②直接写出a关于n的关系式．

Answer 1

分析：（1）根据已知得到抛物线对称轴为直线x=

1

2

，代入即可求出b；
（2）设所求抛物线解析式为y=ax²+bx+1，由对称性可知抛物线经过点B（2，1）和点M（

1

2

，2），把B、M的坐标代入得到方程组

1=4a+2b+1 2= 1 4 a+ 1 2 b+1

，求出a、b的值即可得到抛物线解析式；
（3）①当n=3时，OC=1，BC=3，设所求抛物线解析式为y=ax²+bx，过C作CD⊥OB于点D，则Rt△OCD∽Rt△OBC，得出

OD

CD

=

OC

BC

=

1

3

，设OD=t，则CD=3t，根据勾股定理OD²+CD²=OC²，求出t，得出C的坐标，把B、C坐标代入抛物线解析式即可得到方程组，求出a即可；
②根据（1）、（2）①总结得到答案．

解答：解：（1）∵抛物线过矩形顶点B、C，其中C（0，1），B（n，1）
∴当n=1时，抛物线对称轴为直线x=

1

2

，
∴-

b

2a

=

1

2

，
∵a=-1，
∴b=1，
答：b的值是1．

（2）设所求抛物线解析式为y=ax²+bx+1，
由对称性可知抛物线经过点B（2，1）和点M（

1

2

，2），
则

1=4a+2b+1 2= 1 4 a+ 1 2 b+1

，
解得

a=- 4 3 b= 8 3 .

∴所求抛物线解析式为y=-

4

3

x2+

8

3

x+1，
答：此时抛物线的解析式是y=-

4

3

x2+

8

3

x+1．

（3）①当n=3时，OC=1，BC=3，
设所求抛物线解析式为y=ax²+bx，
过C作CD⊥OB于点D，

则Rt△OCD∽Rt△OBC，
∴

OD

CD

=

OC

BC

=

1

3

，
设OD=t，则CD=3t，
∵OD²+CD²=OC²，
∴（3t）²+t²=1²，
∴t=

1 10

=

10

10

，
∴C（

10

10

，

3

10

10

），
又∵B（

10

，0），
∴把B、C坐标代入抛物线解析式，得

0=10a+ 10 b 3 10 10 = 1 10 a+ 10 10 b

，
解得：a=-

10

3

，
答：a的值是-

10

3

．

②答：a关于n的关系式是a=-

n2+1

n

．

点评：本题主要考查相似三角形的性质和判定，正方形的性质，用待定系数法求二次函数的解析式，解二元一次方程组，勾股定理等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，题型较好综合性强．