A. | ①②④⑤ | B. | ①②③④⑤ | C. | ①②④ | D. | ①④ |
分析 过P作PG⊥AB于点G,根据正方形对角线的性质及题中的已知条件,证明△AGP≌△FPE后即可证明①AP=EF;④∠PFE=∠BAP;在此基础上,根据正方形的对角线平分对角的性质,在Rt△DPF中,DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2,求得⑤DP=$\sqrt{2}$EC.
解答 证明:过P作PG⊥AB于点G,
∵点P是正方形ABCD的对角线BD上一点,
∴GP=EP,
在△GPB中,∠GBP=45°,
∴∠GPB=45°,
∴GB=GP,
同理,得
PE=BE,
∵AB=BC=GF,
∴AG=AB-GB,FP=GF-GP=AB-GB,
∴AG=PF,
∴△AGP≌△FPE,
①∴AP=EF;
∠PFE=∠GAP
∴④∠PFE=∠BAP,
②延长AP到EF上于一点H,
∴∠PAG=∠PFH,
∵∠APG=∠FPH,
∴∠PHF=∠PGA=90°,即AP⊥EF;
③∵点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点,∠ADP=45度,
∴当∠PAD=45度或67.5度或90度时,△APD是等腰三角形,
除此之外,△APD不是等腰三角形,故③错误.
∵GF∥BC,
∴∠DPF=∠DBC,
又∵∠DPF=∠DBC=45°,
∴∠PDF=∠DPF=45°,
∴PF=EC,
∴在Rt△DPF中,DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2,
∴⑤DP=$\sqrt{2}$EC.
∴其中正确结论的序号是①②④⑤.
故选A.
点评 本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定及性质,垂直的判定,等腰三角形的性质,勾股定理的运用.本题难度较大,综合性较强,在解答时要认真审题.
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